POJ-3744-Scout YYF I

ACM模版

描述

题解

分段 + 概率 DP + 矩阵加速。

首先，题目给了雷的数目至多只有十个，不算多，可以将全程进行分段，保证每段只有一个雷或者多个雷在一个位置，并且雷的位置都是段尾。

分段后，每一段之间都是独立的，求出安全通过每一段的概率，最后根据乘法原理即可求出整段的概率。

我们拿第一段来说，第一段是 1∼x[0] ，在 x[0] 处有雷，安全通过就是到达 x[0]+1 的位置。

设 dp[i] 表示安全到达 i 点的概率，那么 dp[i]=p∗dp[i−1]+(1−p)∗dp[i−2] 。是不是有些像斐波那契数列求第 i 项，同样，这里的段长度太大，暴力求肯定挂，所以可以像求斐波那契数列第 n 项一样用二阶矩阵加速。

那么问题来了，雷怎么处理？斐波那契数列的矩阵加速求法是不考虑障碍的，所以我们需要特别考虑 dp[x[0]+1] 的概率，这里我们很容易理解， dp[x[0]+1]=1−dp[x[0]] ，也就是说安全通过的概率为没有踩到雷的概率，也就是 1−dp[x[0]] 。

初始，设置每一段开始的概率为 1.0 ，这样才能利用乘法原理得到正确答案。

代码

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int MAXN = 15;

struct Matrix
{
    double mat[2][2];
};

Matrix mul(Matrix a, Matrix b)
{
    Matrix ret;
    for (int i = 0; i < 2; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 2; j++)
        {
            ret.mat[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < 2; k++)
            {
                ret.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
            }
        }
    }

    return ret;
}

Matrix QPow_M(Matrix a, int n)
{
    Matrix ret;
    memset(ret.mat, 0, sizeof(ret.mat));

    for (int i = 0; i < 2; i++)
    {
        ret.mat[i][i] = 1;
    }

    Matrix tmp = a;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
        {
            ret = mul(ret, tmp);
        }
        tmp = mul(tmp, tmp);
        n >>= 1;
    }

    return ret;
}

int n;
double p;
int x[MAXN];

int main(int argc, const char * argv[])
{
    while (cin >> n >> p)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d", x + i);
        }
        sort(x, x + n);

        double ans;
        Matrix m, t;
        m.mat[0][0] = p;
        m.mat[0][1] = 1 - p;
        m.mat[1][0] = 1;
        m.mat[1][1] = 0;

        t = QPow_M(m, x[0] - 1);
        ans = (1 - t.mat[0][0]);

        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            if (x[i] == x[i - 1])
            {
                continue;
            }
            t = QPow_M(m, x[i] - x[i - 1] - 1);
            ans *= (1 - t.mat[0][0]);
        }

        printf("%.7lf\n", ans);
    }

    return 0;
}