有限元计算 求解笔记（下）

有限元计算原理

5. 实例问题

5.1 E是（X，Y）的函数

首先假设杨氏模量为常量E0，积分计算就是乘法：

so

应变矩阵由节点坐标确定

单元刚度矩阵给出：

那么对于E为变量的情况，假设E的方程为

so

从解析角度来说，需要使用二重积分

从数值计算角度来说，使用高斯近似

在示例问题下，一个高斯点足矣。

结合前面所知道的值，就可以求出单元刚度矩阵：

施加外力：

引起的势能：

边缘处的牵引力引起的势能变化：

在边缘处，插值一维线性形函数：

其表达式为：


换为势能表达式：

其中：

简写：

5.2 T是（X，Y）的函数

如果T是常量T0，用一个高斯点求解：


但对于以下情况：

需要至少两个高斯点。

对于QX1：

对于QX2：

单元上的点力：

外部施加体积力引起的势能变化：

5.3 B是（X，Y）的函数

计算出点力

其中

如果B是常数，

同理

如果B有如下关系式

需要3个高斯点。

微元的总能量

根据最小能量原理，需要6个方程。

5.4 施加面积力

单元刚度矩阵：

全局系统：

牵引引起的节点力：

边界条件：

得

以上描述都归为线性三角形网格。

6. 线性四边形网格

直观而言，在有限元分析中，普遍认为四边形网格比三角形网格更精确。具体原因是什么，百度了一下，没有看到专业的回答。猜测可能是因为三角形网格会出现极差的分割情况吧。

6.1 形函数

四个形函数：

映射到现实点：

插值方法和位移类似：

简写：

6.2 应力-位移矩阵

回忆到应变：

形函数换元：

其中[J]为Jacobian矩阵。

微元内：