综合评价与决策方法

评价方法按确定权重的方式不同可分为两类：

• 主观赋权：综合指数法、模糊综合评判法、层次分析法、功效系数法等。
• 客观赋权：理想解法（TOPSIS法）、主成分分析法、因子分析法。

1. 理想解法

1.1 方法和原理
理想解法通过构造评价问题的正理想解（最优解）和负理想解（最劣解），计算每个方案到理想方案的相对贴近度，即靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对方案进行排序，从而选出最优方案。
设多属性决策方案集为$\mathbf{D}=\left\{d_1,d_2,\cdots ,d_m\right\}$，衡量方案优劣的属性变量为$x_1,\cdots ,x_m$，这时方案集$\mathbf{D}$中的每个方案${\mathbf{d}}_{\mathbf{i}}(i=1,\cdots ,m)$的n个属性值构成的向量是$[a_{i1},\cdots ,a_{in}]$。
正理想解${\mathbf{C}}^{\ast }$是一个方案集$\mathbf{D}$中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最优值；负理想解${\mathbf{C}}^0$是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差值。在n维空间中，将方案集$\mathbf{D}$中的各备选方案$d_i$与${\mathbf{C}}^{\ast }$和${\mathbf{C}}^0$的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方案就是$\mathbf{D}$中的最优方案；并可以据此排定$\mathbf{D}$中各备选方案的优先序。TOPSIS法所用的是欧几里得距离。

1.2 TOPSIS法的算法步骤

1. 用向量规范化的方法求得规范决策矩阵。设多属性决策问题的决策矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$规范化决策矩阵$\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{m\times n}$，其中$$b_{ij}=a_{ij}/\sqrt{\sum _{i=1}^m{a}_{ij}^2},i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n$$
2. 构造加权规范阵$\mathbf{C}=(c_{ij}{)}_{m\times n}$，设由决策人给定的各属性的权重向量为$\mathbf{w}=[w_1,\cdots ,w_n{]}^T$，则$$c_{ij}=w_j{b}_{ij},i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n$$
3. 确定正理想解${\mathbf{C}}^{\ast }$和负理想解${\mathbf{C}}^0$，设${\mathbf{C}}^{\ast }$的第j个属性值为$c_j^{\ast }$，${\mathbf{C}}^0$第j个属性值为$c_j^0$，则$$\begin{gathered} c_j^{\ast }=\{\begin{array}{l}\underset{i}{\max }{c}_{ij},j为效益型属性\\ \underset{i}{\min }{c}_{ij},j为成本型属性\end{array},j=1,\cdots ,n \\ {c}_j^0=\{\begin{array}{l}\underset{i}{\min }{c}_{ij},j为效益型属性\\ \underset{i}{\max }{c}_{ij},j为成本型属性\end{array},j=1,\cdots ,n \end{gathered}$$
4. 计算各方案到正理想解与负理想解的距离，对备选方案${\mathbf{d}}_{\mathbf{i}}$而言，有$$s_i^{\ast }=\sqrt{\sum _{j=1}^n(c_{ij}-c_j^{\ast }{)}^2},s_i^0=\sqrt{\sum _{j=1}^n(c_{ij}-c_j^0{)}^2},i=1,\cdots ,m$$
5. 计算个方案的排序指标值（综合评价指数），即$$f_i^{\ast }=s_i^0/(s_i^0+s_i^{\ast }),i=1,\cdots ,m$$
6. 按$f_i^{\ast }$由大到小排列方案的优劣次序

算法中第一步数据规范化可根据不同类型的数据给出不同规范化方法。

2. 模糊综合评判法

2.1 一级模糊综合评判
模糊综合评判法一般用于人事考核，模型建立包括以下步骤：

1. 确定因素集：对员工的表现，需要从多个方面进行综合评判，如员工的工作业绩、工作态度、沟通能力、政治表现等。所有这些因素构成了评价指标体系集合，记为$$U=\left\{u_1,\cdots ,u_n\right\}$$
2. 确定评语集：由于每个指标的评价值不同，往往会形成不同的等级。如对工作业绩的评价有好、较好、中等、较差、很差等。由各种不同决断构成的集合称为评语集，记为$$V=\left\{v_1,\cdots ,v_m\right\}$$
3. 确定各因素的权重：权重是U上的一个模糊向量，记为$$A=\left\{a_1,\cdots ,a_n\right\}$$且满足${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$
4. 确定模糊综合判断矩阵：各指标的模糊综合判断矩阵为$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1m}\\ r_{21}& r_{22}& \cdots & r_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n1}& r_{n2}& \cdots & r_{nm}\end{array}\right]$$其中$r_{ij}$可视为对某员工的$u_i$因素评语为$v_j$的比例，有${\sum }_{j=1}^m{r}_{ij}=1$
5. 综合评判：综合评判结果为$\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{R}$，可看作V上的模糊向量，记为$\mathbf{B}=[b_1,\cdots ,b_m]$，取该向量中数值最大对应的评语作为综合评判结果

2.2 多层次模糊综合评判
二级模糊综合评判法模型建立步骤如下：

1. 将因素集$\mathbf{U}=\left\{u_1,\cdots ,u_n\right\}$按某种属性分成s个子因素集${\mathbf{U}}_1,\cdots ,{\mathbf{U}}_{\mathbf{s}}$，其中${\mathbf{U}}_i=\left\{u_{i1},\cdots ,u_{i{n}_i}\right\},i=1,\cdots ,s$，且满足
   ① $n_1+\cdots +n_s=n$
   ② ${\mathbf{U}}_1\cup \cdots \cup {\mathbf{U}}_{\mathbf{s}}=\mathbf{U}$
   ③ 对任意的$i\ne j,{\mathbf{U}}_{\mathbf{i}}\cap U_j=\Phi$
2. 对每个因素集$U_i$分别做出综合评判，设$\mathbf{V}=\left\{v_1,\cdots ,v_m\right\}$为评语集，${\mathbf{U}}_{\mathbf{i}}$中各因素相对于V的权重分配是${\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}=\left\{a_{i1},\cdots ,a_{i{n}_i}\right\}$，若${\tilde{\mathbf{R}}}_i$为单因素评判矩阵，则得到以及评判向量${\mathbf{B}}_{\mathbf{i}}={\mathbf{A}}_{\mathbf{i}}{\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathbf{i}}=[b_{i1},\cdots ,b_{im}],i=1,\cdots ,s$
3. 将每个$U_i$看作一个因素，记为$K=\left\{{\tilde{u}}_1,\cdots ,{\tilde{u}}_s\right\}$，这样K又是一个因素集，K的单因素评判矩阵为$$\mathbf{R}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{B}}_1\\ {\mathbf{B}}_2\\ ⋮\\ {\mathbf{B}}_s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1m}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{s1}& b_{s2}& \cdots & b_{sm}\end{array}\right]$$每个${\mathbf{U}}_{\mathbf{i}}$作为$\mathbf{U}$的一部分，反映了$\mathbf{U}$的某种属性，可以按它们的重要性给出权重分配$\mathbf{A}=[{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{s}}]$，于是得到耳机评判向量$$\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{R}=[b_1,\cdots ,b_m]$$如果每个子因素集$U_i$含有较多的因素，则可以将$U_i$再进行划分，于是有三级或更高级评判模型。

3. 数据包络分析（DEA）

3.1 数据包络分析的C²R模型
数据包络分析有多种模型，其中C²R的建模思路清晰，模型形式简单，理论完善。设有n个决策单元（DMU），每个DMU都有m种投入和s种产出，设$x_{ij}(i=1,\cdots ,m;j=1,\cdots ,n)$表示第j个DMU的第i种投入量，$y_{rj}(r=1,\cdots ,s;j=1,\cdots ,n)$表示第j个DMU的第r种产出量，$v_i(i=1,\cdots ,m)$表示第i种投入的权值，$u_r(r=1,\cdots ,s)$表示第r种产出的权值。
向量${\mathbf{X}}_{\mathbf{j}},{\mathbf{Y}}_{\mathbf{j}}(j=1,\cdots ,n)$分别表示决策单元j的输入和输出向量，$\mathbf{v},\mathbf{u}$分别表示输入、输出权值向量，则${\mathbf{X}}_j=(x_{1j},\cdots ,x_{mj}{)}^T,{\mathbf{Y}}_j=(y_{1j},\cdots ,y_{sj}{)}^T,\mathbf{u}=(u_1,\cdots ,u_s{)}^T,\mathbf{v}=(v_1,\cdots ,v_m{)}^T$。
定义决策单元j的效率评价指数为$$h_j=({\mathbf{u}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{j}})/({\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{j}}),j=1,\cdots ,n$$评价决策单元$j_0$效率的数学模型为$$\begin{gathered} \max \frac{{\mathbf{u}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{Y}}_{{\mathbf{j}}_0}}{{\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{X}}_{{\mathbf{j}}_0}} \\ \text{s.t.}\{\begin{array}{l}\frac{{\mathbf{u}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{j}}}{{\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{j}}}⩽1,j=1,\cdots ,n\\ \mathbf{u}⩾0,\mathbf{v}⩾0,\mathbf{u}\ne 0,\mathbf{v}\ne 0\end{array} \end{gathered}$$通过C²变换：$\mathbf{\omega }=\mathbf{t}\mathbf{v},\mathbf{\mu }=\mathbf{t}\mathbf{u},\mathbf{t}=\frac{1}{{\mathbf{v}}^{\mathbf{T}}{\mathbf{X}}_{{\mathbf{j}}_0}}$，可将该模型转化为等价的线性规划模型$$\begin{gathered} \max {\mathbf{V}}_{{\mathbf{j}}_0}={\mathbf{\mu }}^{\mathbf{T}}{\mathbf{Y}}_{{\mathbf{j}}_0} \\ \text{s.t.}\{\begin{array}{l}{\mathbf{\omega }}^{\mathbf{T}}{\mathbf{X}}_{\mathbf{j}}-{\mathbf{\mu }}^{\mathbf{T}}{\mathbf{Y}}_{\mathbf{j}}⩾0,j=1,\cdots ,n\\ {\mathbf{\omega }}^{\mathbf{T}}{\mathbf{X}}_{{\mathbf{j}}_0}=1\\ \mathbf{\omega }⩾0,\mathbf{\mu }⩾0\end{array} \end{gathered}$$再将该线性规划模型转化为对偶线性规划模型$$\begin{gathered} \min \theta \\ \text{s.t.}\{\begin{array}{l}{\sum }_{j=1}^n{\lambda }_j{\mathbf{X}}_{\mathbf{j}}⩽\theta {\mathbf{X}}_{{\mathbf{j}}_0}\\ {\sum }_{j=1}^n{\lambda }_j{\mathbf{Y}}_{\mathbf{j}}⩽{\mathbf{Y}}_{{\mathbf{j}}_0}\\ {\lambda }_j⩾0,j=1,\cdots ,n\end{array} \end{gathered}$$对C²R模型，有如下定义：

• 若线性规划问题的最优目标值${\mathbf{V}}_{{\mathbf{j}}_0}=1$，则称决策单元$j_0$是弱DEA有效的。
• 若线性规划问题存在最优解${\mathbf{\omega }}^{\ast }>0,{\mathbf{\mu }}^{\ast }>0$，且其最优目标值${\mathbf{V}}_{{\mathbf{j}}_0}=1$，则称决策单元$j_0$是DEA有效的。

由上述定义知，所有DEA有效，就是指那些决策单元，它们的投入产出比达到最大。

3.2 DEA的适用性
DEA是以相对效率概念为基础，根据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位进行相对有效性的一种系统分析方法。它应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对象作出评价。
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，主要体现在：

• DEA以决策单位各输入/输出的权重为变量，从最有利于决策单元的角度进行评价，从而避免了确定各指标在优先意义下的权重。
• 假定每个输入都关联到一个或多个输出，每个输入/输出的权重不是根据评价者的主观认定，而是由决策单元的实际数据求得的最优权重。因此，DEA方法具有很强的客观性。

4. 灰色关联分析法

具体步骤如下：

1. 确定比较对象（评价对象）和参考数列（评价标准）。设评价对象有m个，评价指标有n个，参考数列为$x_0=\left\{x_0(k)|k=1,\cdots ,n\right\}$，比较数列为$x_i=\left\{x_i(k)|k=1,\cdots ,n\right\},i=1,\cdots ,m$。
2. 确定各指标值对应的权重。可用层次分析法等确定各指标对应的权重$\mathbf{w}=[w_1,\cdots ,w_n]$，其中$w_k(k=1,\cdots ,n)$为第k个评价指标对应的权重。
3. 计算灰色关联系数：$${\xi }_i(k)=\frac{{\min }_s{\min }_t\left|x_0(t)-x_s(t)\right|+\rho {\max }_s{\max }_t\left|x_0(t)-x_s(t)\right|}{\left|x_0(k)-x_i(k)\right|+\rho {\max }_t\max \left|x_0(t)-x_s(t)\right|}$$为比较数列$x_i$对参考数列$x_0$在第k个指标上的关联系数，其中$\rho \in [0,1]$为分辨系数。其中${\min }_s{\min }_t\left|x_0(t)-x_s(t)\right|,{\max }_s{\max }_t\left|x_0(t)-x_s(t)\right|$分别为两级最小差和两级最大差。一般，分辨系数$\rho$越大分辨率越大，$\rho$越小分辨率越小。
4. 计算灰色加权关联度：计算公式为$$r_i=\sum _{k=1}^n{w}_i{\xi }_i(k)$$式中，$r_i$为第i个评价对象对理想对象的灰色加权关联度。
5. 评价分析：根据灰色加权关联度的大小，对各评价对象进行排序，可建立评价对象的关联序，关联度越大，其评价效果越好。

其中参考数列可取每个指标的最优值，作为一个虚拟的最优对象。

5. 主成分分析法

1. 对原始数据进行标准化处理
2. 计算相关系数矩阵$\mathbf{R}$
3. 计算特征值和特征向量
4. 选择p个主成分，计算综合评价值

6. 秩和比综合评价法

6.1 原理
秩和比综合评价法的基本原理是在一个n行m列矩阵中，通过秩变换，获得无量纲统计量RSR。在此基础上，运用参数统计分析的概念与方法，研究RSR的分布，以RSR值对评价对象的优劣直接排序或分档排序，从而对评价对象作出综合评价。

6.2 步骤

1. 编秩：将n个评价对象的m个评价指标排列成n行m列的原始数据表。编出每个指标各评价对象的秩，其中效益型指标从小到大编秩，成本型指标从大到小编秩，统一指标数据相同者编平均秩。得到的秩矩阵记为$R=(R_{ij}{)}_{n\times m}$。
2. 计算秩和比（RSR）：根据公式$${\mathrm{RSR}}_i=\frac{1}{mn}\sum _{j=1}^m{R}_{ij},i=1.\cdots .n$$计算秩和比。当个评价指标的权重不同时，计算加权秩和比（WRSR）：$${\mathrm{WRSR}}_i=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^m{w}_i{R}_{ij},i=1.\cdots .n$$式中，$w_j$为第j个评价指标的权重，${\sum }_{j=1}^m{w}_j=1$
3. 计算概率单位：按从小到大的顺序编秩RSR（或WRSR）频率分布表，列出各组频数$f_i$，计算各组累积频数$c{f}_i$，计算累积频率$p_i=c{f}_i/n$，将$p_i$转换为概率单位${\mathrm{Probit}}_i$，${\mathrm{Probit}}_i$为标准正态分布的$p_i$分位数加5
4. 计算直线回归方程：以累积频率所对应的概率单位${\mathrm{Probit}}_i$为自变量，以RSR_i（或WRSR_i）值为因变量，计算直线回归方程：$$\mathrm{R}\mathrm{S}\mathrm{R}\left(\mathrm{W}\mathrm{R}\mathrm{S}\mathrm{R}\right)=a+b\times \mathrm{Probit}$$
5. 分档排序：按照回归方程推算所对应的RSR（WRSR）估计值对评价对象进行分档排序