1301. C 循环（扩展GCD）

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做本题之前，可以先做一下这道题，有助于理解：线性同余方程

题目

对于 C 语言的循环语句，形如：

for (variable = A; variable != B; variable += C) statement;

请问在 k 位存储系统中循环几次才会结束。

若在有限次内结束，则输出循环次数。否则输出死循环。

输入格式

多组数据，每组数据一行四个整数 $A,B,C,k$。

读入以 0 0 0 0 结束。

输出格式

若在有限次内结束，则输出循环次数。

否则输出 $FOREVER$。
数据范围

$1\le k\le 32,0\le A,B,C<2^k$

输入输出样例

样例输入1

3 3 2 16
3 7 2 16
7 3 2 16
3 4 2 16
0 0 0 0

样例输出1

0
2
32766
FOREVER

思路

数学知识，扩展gcd。题意大致是从 A 开始每次增加 C 直到 B 为止，若一直不会到达数值B，则返回“FOREVER”，否则返回增加的 C 的个数。其中需注意 k 位存储系统中保存 k 位数，即对 $2^k$ 取模。
设最大公约数$d=gcd(C,2^k)$，
列出式子，
$(A+C+C+\dots +C)mod{2}^k==B$
$(A+Cx)mod{2}^k==B$
$Cxmod{2}^k==(B-A)$
$Cx+2^{k}y==(B-A)$
当且仅当 $(B-A)\%d==0$ 时有解，否则陷入死循环。

代码

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
     
    if(!b) {
     
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
int main() {
     
    ll a, b, c;
    int k;
    while(scanf("%lld%lld%lld%d", &a, &b, &c, &k) && (a || b || c || k)) {
     
        ll x, y;
        ll m = 1ll << k;
        ll d = exgcd(c, m, x, y);
        ll mod = m / d;
        if((b - a) % d) puts("FOREVER");
        else printf("%lld\n", (((b - a) / d * x) % mod + mod) % mod);
    }
    return 0;
}