1125. 牛的旅行

题目

农民John的农场里有很多牧区，有的路径连接一些特定的牧区。

一片所有连通的牧区称为一个牧场。

但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区不连通。

现在，John想在农场里添加一条路径（注意，恰好一条）。

一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离（本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离）。

考虑如下的两个牧场，每一个牧区都有自己的坐标：

1.png

图 1 是有 5 个牧区的牧场，牧区用“*”表示，路径用直线表示。

图 1 所示的牧场的直径大约是 12.07106, 最远的两个牧区是 A 和 E，它们之间的最短路径是 A-B-E。

图 2 是另一个牧场。

这两个牧场都在John的农场上。

John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。

注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。

只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。

现在请你编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场的直径尽可能小。

输出这个直径最小可能值。

输入格式
第 1 行：一个整数 N, 表示牧区数；

第 2 到 N+1 行：每行两个整数 X,Y， 表示 N 个牧区的坐标。每个牧区的坐标都是不一样的。

第 N+2 行到第 2*N+1 行：每行包括 N 个数字 ( 0或1 ) 表示一个对称邻接矩阵。

例如，题目描述中的两个牧场的矩阵描述如下：

A B C D E F G H
A 0 1 0 0 0 0 0 0
B 1 0 1 1 1 0 0 0
C 0 1 0 0 1 0 0 0
D 0 1 0 0 1 0 0 0
E 0 1 1 1 0 0 0 0
F 0 0 0 0 0 0 1 0
G 0 0 0 0 0 1 0 1
H 0 0 0 0 0 0 1 0
输入数据中至少包括两个不连通的牧区。

输出格式
只有一行，包括一个实数，表示所求答案。

数字保留六位小数。

数据范围
1≤N≤150,
0≤X,Y≤105
输入样例：
8
10 10
15 10
20 10
15 15
20 15
30 15
25 10
30 10
01000000
10111000
01001000
01001000
01110000
00000010
00000101
00000010
输出样例：
22.071068

思路

• 题目要求讲两个连通块的两个点连起来后使得所有连通块内点的最大距离最小
• 首先连任意两个连通块对于他们内部两两点之间的距离不会有任何改变，所以答案肯定大于等于没有连线之前，所有连通块内部点的最大距离的最大值，如果把某两个连通块相连了的a和b点相连了，那么就会多出一个有可能是答案的值——a点的到a连通块的点的最大路径+b点到b连通块的点的最大路径+a和b的距离，所以只要比较一下这个值和前面没有连线之前，所有连通块内部点的最大距离的最大值，取大的一个即可
• 所以题目只要先算出每一个连通块内部所有点的直径，在枚举一下是那两个点相连计算以上值取大的一个即可

代码

#include 
#include 
#include 
#include 

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<double, double> PDD;

const int N = 155;
const double INF = 1e20;

int n;
PDD q[N];
double d[N][N];
double maxd[N];
char g[N][N];

double get_dist(PDD a, PDD b)
{
     
    double dx = a.x - b.x;
    double dy = a.y - b.y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

int main()
{
     
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> q[i].x >> q[i].y;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];

    for (int i = 0; i < n; i ++ )//先初始化一下两两点之间的距离
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else if (g[i][j] == '1') d[i][j] = get_dist(q[i], q[j]);
            else d[i][j] = INF;

    for (int k = 0; k < n; k ++ )//Floyd算法
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);

    double r1 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )//求出一个点到其他点的最大距离
    {
     
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            if (d[i][j] < INF / 2)
                maxd[i] = max(maxd[i], d[i][j]);
        r1 = max(r1, maxd[i]);
    }

    double r2 = INF;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )//枚举一下哪两个不同连通块的点相连
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            if (d[i][j] > INF / 2)
                r2 = min(r2, maxd[i] + maxd[j] + get_dist(q[i], q[j]));

    printf("%.6lf\n", max(r1, r2));

    return 0;
}