POJ-1141 Brackets Sequence（递推）

Brackets Sequence Time Limit: 1S   Memory Limit: 65M         Special Judge Description Let us define a regular brackets sequence in the following way:  1. Empty sequence is a regular sequence.  2. If S is a regular sequence, then (S) and [S] are both regular sequences.  3. If A and B are regular sequences, then AB is a regular sequence.  For example, all of the following sequences of characters are regular brackets sequences:  (), [], (()), ([]), ()[], ()[()]  And all of the following character sequences are not:  (, [, ), )(, ([)], ([(]  Some sequence of characters '(', ')', '[', and ']' is given. You are to find the shortest possible regular brackets sequence, that contains the given character sequence as a subsequence. Here, a string a1 a2 ... an is called a subsequence of the string b1 b2 ... bm, if there exist such indices 1 = i1 < i2 < ... < in = m, that aj = bij for all 1 = j = n. Input The input file contains at most 100 brackets (characters '(', ')', '[' and ']') that are situated on a single line without any other characters among them. Output Write to the output file a single line that contains some regular brackets sequence that has the minimal possible length and contains the given sequence as a subsequence. Sample Input ([(] Sample Output ()[()] Source Northeastern Europe 2001

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思路：不会写。研究了一天题解。据说是lrj黑书第一道DP题。参见博客：灰机

先考虑匹配的方法。怎么匹配呢？最差的解是一个一个添加，看到左括号添一个右括号，看到右括号补一个左括号。「这个想法真心是必须有的，不要以为DP就是找最优解，DP真正的含义是：从最差的解规划出最优的解」

然后考虑“状态”及其转移。怎样表示匹配的状态？那就是起点、匹配点。d[i][i+k]。[i]表示起点，[i+k]中k表示间隔个数。白话就是：两个两个看、三个三个看、四个四个看……那么d值的意义是什么呢？既然要求“添加最少括号”的方案，那就应该DP“需要添加的括号数”。最差解我们已经有了，那就是“每个括号需要添加一个括号来匹配”。相信d[ ][ ]的初始化就写得出来了：

void init(int len)
{
    For i: 0 ~ len-1
        d[i][i+0] = 1;
}

然后是枚举子状态了：子状态要首先用上界赋值。然后是递推——两种情况：子状态左端和右端是匹配的；子状态左右端不匹配。

对不匹配的：DP出最优的匹配方案。怎样DP呢？要找状态转移方程了。建议在这个时候，手写一些一般性情况模拟出解、最优解。对于该状态的子状态，因为DP的原因是“最优子状态”，因此枚举它的子状态，递推出最优子结构。

例如：()()，分别命名1、2、3、4号。经过“两个两个看”，1->2、2->d[2][2]、3->4、4->d[4][4]，之后是“三个三个看”，1->2 + 3->d[3][3]、2->d[2][2] + 3->4。最后是“四个四个看”，1->2 + 3->4。最优解get。

For tmp: i ~ i+k-1
    if(d[i][i+k] > d[i][tmp] + d[tmp+1][i+k])
        标记[i][i+k]最优分界点:tmp
        d[i][i+k] = d[i][tmp] + d[tmp+1][i+k]

对匹配的：其d[ ][ ]值就等于其内部的d[ ][ ]值。这也是转移。递推。

    d[i][i+k] = d[i+1][i+k-1];

此外，[i][i+k]不需要分界点，标记为-1。

到此，DP的过程完成了的说！～～接下来是输出问题。

使用递归是最好的。根据分界点来递归输出。先找递归边界：左端点 > 右端点。

情况1：左==右。因为是自己跟自己匹配，所以是“最差的解”，即：补上一个括号。

情况2：case 1:无分界点——意味着左右匹配，那么输出：左；（递归）中；右

case2:有分界点——（递归）左、分界；（递归）分界+1、右

图解：来源

代码如下：

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