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图论报告
浅谈最短路
标签（空格分隔）： 算法报告 图论 最短路
内容
- 最短路
- Floyd v3
- Bellman-ford v∗e
- Dijkstra v2
- Dijkstra Heap优化 vlogv+e∗logv
- SFPA v∗e
- A*
- 所有节点对最短路
- 矩阵乘法 v4
- Floyd-Warshall v3
- Johnson * （可于负权图） v2logv
- 最小生成树
- Prim v2 （邻接表 elogv ）
- Kruskal eloge
- 具体题目
最短路大家族
Floyd ——正负权均可
这是一个耿直的，但是最容易写的代码。
本质是dp
对于只使用前 k 个点，求得最优解
那么就可以dp出 使用前 k + 1 个点的最优解
以下是dp过程
for(int k=1; k<=n; k++)
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
if(e[i][j] > e[i][k] + e[k][j])
e[i][j] = e[i][k] + e[k][j]; Bellman-ford ——正负权均可
Bellman-ford是 不断松弛 寻得最优的过程
每次对所有边松弛操作一次
可以证明，至多 v-1 次，即可求得解
for(int i=1; i<=v-1; i++)
for(int j=1; j<=e; j++){
int u = edge[j].u;
int v = edge[j].v;
int weight = edge[j].weight;
if(dis[v] > dis[u] + weight)
dis[v] = dis[u] + weight;
}
// 判断是否存在负环
bool flag = 0;
for(int i = 1; i<=e; i++){
if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].weight){
flag = 1;
break;
}
}
// flag == 1 存在负环
Dijkstra —— 无法负权
Dij是每次通过获得最快能到达点，在以此继续贪心，来得到最短路的算法。
对于如下 n = 3 的邻接矩阵
| 0 | 2 | 3 |
|---|---|---|
| 2 | 0 | -2 |
| 3 | -2 | 0 |
在更新的过程中 Dis[i]的状态如下
| 步骤 | dis1 | dis2 | dis[3] | 过程 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ∞ | ∞ | 从点1触发 |
| 1 | 0 | 2 | 3 | 从点2触发 |
| 2 | 0 | 2 | 1 | 完毕 |
那么，dis2通过Dij得出的结果是 2
但是，很明显，可以通过 1->3->2的方式得到一个 1 的更优解
为什么Dij会失败呢？
Dij 是贪心，每次贪心得出（最快能到达的点）
负权会产生影响，把之前得到的某个点再次优化
但是这个被影响的点已经跑完了，就不会更新他所能影响的点
Dijkstra —— Heap 优化
Dij的算法步骤如下
- 在未纳入的点中，获得最优点①
- 以该点出发，更新其他点 ②
步骤① 会重复执行 v 次
步骤② 执行的总次数实际上所有的边 即 e 次
而步骤 ① 需要 获得最优点，朴素的搜索需要 v 次
步骤② 的更新朴素实现是 O(1) 的
所以总时间是 v∗v+e∗1
Dij的Heap优化在于，把获得最优点和更新其他点用堆来实现
获得最优点即是删除堆顶 复杂度为 logV
更新其他点则是修改堆的节点值 复杂度为 logV
所以 Heap 优化后的Dij，时间为 v∗logv+e∗logv
即复杂度为 O(elogv)
实际上，当 e=v2 时 Dij的Heap会退化成一个 O(v2logv)
效率会低于朴素的Dij的实现（ O(v2) )
PS:
鉴于 Dij 的实际操作是 降权 和 删除堆顶
使用斐波那契堆 可以让降权操作的摊还复杂度为 O(1)
斐波那契堆实现的Dij的复杂度为 O(e+vlogv)
然而实际上并没有哪个需要用它，毕竟卡SPFA的不会卡heap，而SPFA大法可以解决大部分问题……
SPFA （正负权）
Shortest Path Faster Algorithm
吐槽：一般的算法名都是由作者名字命名，然而这个命名则是中文的，尤其是这个Faster，显得很是中二……
这是一个最坏能达到 O(v∗e) 的算法
其为 Bellman-ford 的优化
因为 Bellman-ford 是一个不断松弛的算法，但松弛过程中有很多无效操作
SPFA则把每次被更新的点重新纳入计算，以此减少无效步骤
SPFA的具体做法是维护一个顶点的队列
不断地从头到尾扫描队列
如果队列中某个点的标记值为true
则以此出发更新其他点，被更新到更优解的点，标记true
该点标记false
初始只有起点为true
SPFA 是一种 XJBS 出奇迹的典型……
虽然它的最劣很劣，但通常情况是快于甚至远远快于其他算法的
——有不靠谱的书认为SFPA是一个 O(ke) 的算法（k为常数）
举个SPFA最劣情况的例子
n = 5 的邻接矩阵
| 矩阵 | 点1 | 点2 | 点3 | 点4 | 点5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 点1 | 0 | 16 | 16 | 16 | 1 |
| 点2 | 16 | 0 | 1 | 4 | 8 |
| 点3 | 16 | 1 | 0 | 1 | 8 |
| 点4 | 16 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| 点5 | 1 | 8 | 8 | 1 | 0 |
第一遍遍历队列的过程
点1 会把 2 3 4 5全部更新
此时情况是
| Dis | 点1 | 点2 | 点3 | 点4 | 点5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 距离 | 0 | 16 | 16 | 16 | 1 |
（之后的过程中，2,3,4点的更新是无效的）
而到达5后，会更新为
| Dis | 点1 | 点2 | 点3 | 点4 | 点5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 距离 | 0 | 9 | 9 | 2 | 1 |
点2、3、4会重新
下一次，会继续对2、3、4点更新
之后点4又再次更了2、3
这种情况下，会更新V轮
每轮为E次更新
则达到最坏复杂度
A* (启发式搜索）
DFS和BFS都是 地毯式 搜索
A* 是搜索的时候，带一个 估价函数 试图往更好地方向上搜
记 S 为源点
记 T 为汇点
对于点
我们记录 F(a,b) 为从 a 到 b 的 实际 最短路程
我们记录 P(a,b) 为从 a 到 b 的 估价 最短路
BFS 是 每次求得最小的一个 F(S,a) 的过程
那么，如果我对当前搜得的点，
估算一个 F(S,a)+P(a,T) 如果 P(a,T)=F(a,T)
他实际就是 S 经由 a 到达 T 的最短路
但是 这个 P(a,T) 我无法直接求得
可以证明
如果 P(a,b)<F(a,b) 将可以求得最短路
如果 P(a,b)=F(a,b) 将等效于 BFS
如果 P(a,b)>F(a,b) 将较快搜得结果，但不一定是最短路
所有最短结点对
Floyd
Floyd是可以在 V3 内实现求得所有最短结点对的
对每个点求一次最短路
如果对每个点使用一次SPFA，可以求得结果，但效率不会很稳定。
（鉴于SPFA的最坏是 V∗E ，但实际上似乎对每个点搜索，不会都达到最劣）
如果对每个点，跑一次 Dij
其复杂度为 v3
对每个点跑一次Dij的heap优化
如果使用斐波那契堆，可以达到单次搜索 vlogv
整体复杂度 v∗vlogv
而Dij对负权无能为力
Johnson就是一个对含负权的图作出处理
而后用Dij堆优化来跑得结果的算法
Johnson
神奇的SPFA，是会被偶尔卡一下的
而堆优化的dij，仍然会死于负权
Johnson就是一个处理带负权的图，让它能跑dij堆来处理所有结点对最短距离的方法。
如果，我们在每个节点，赋予一个权值 h[i]
记原i、j两点的边权为 w[i][j]
新的边权 记为 W[i][j]=w[i][j]+h[i]−h[j]
所寻得的所有最短路，是否与原来一致？
我们记
path[i] 为 原来从源点到 i 点 实际最短路
Path[i] 为 后来从源点到 i 点 实际最短路
我们知道
Path[i]=W[1][v1]+W[v1][v2]+...+W[vn][i]
而 W[i][j]=w[i][j]+h[i]−h[j]
所以
Path[i]=w[1][v1]+w[v1][v2]+...+w[vn][i]+h[1]−h[v1]+h[v1]−h[v2]+...+h[vn]−h[i]
Path[i]=w[1][v1]+w[v1][v2]+...+w[vn][i]+h[1]−h[i]
h[1]−h[i] 是固定的
所以，当 w[1][v1]+w[v1][v2]+...+w[vn][i] 取最优时
Path[i] 取最优
而 path[i] 即是最优选项
所以，合理构造出 h[i] 就可以构造出一张无负权的图
这个合理，可以是
新建一个点 T0 这个点到所有点，连一条权值为0的单向边。
首先对这个点跑一次最短路 SPFA 或 其他
然后把跑出来的值，赋值给每个点
因为 跑完后另 h[i]=d[i]
( d[i] 为从 T0 到 i 的实际最短路)
而 d[j]≤d[i]+w[i][j]
我们要使得 W[i][j]=w[i][j]+h[i]−h[j]≥0 的目的 也就实现了
PS:跑出负环说明原图有负环
题目
0.引子：渡河
最短路是一个实用性很强，应用面很广的算法。
一个经典的问题
人、狼、羊、白菜 要过河
每次渡河 需要人来
但是人不在的时候
狼要吃羊
羊要啃白菜
如何用最少的步骤，安全渡河，没有谁受伤害……
*如果人渡河要花力气，如运白菜要1力气，运羊要2力气什么的，怎样最省力呢？
如果不止有人狼羊白菜，还有喜羊羊灰太狼灰太狼呢？*
我是邪恶的分割线
我们把所有情况罗列
如 人 羊 表示 人和羊在此岸，狼和白菜在彼岸
把每种情况看做一个节点
然后，把不能存在的情况剔除（狼爱上羊，好白菜被羊拱了什么的）
那么，每次人渡河后，会从某情况，变成另一种情况
于是在两种情况间加边（权值为1）
于是问题转变为了
找 从 人狼羊白菜 到 （空） 的最短路
1.从简单的热身题开始
一个 M∗N 的网络，每个节点有一个高度
有一个初始速度 S
每次可以上下左右移动
移动花费的时间是1/S
每次移动后，速度会变化成 S∗2H1−H2
（H1、H2 分别是两点的高度）
求从左上到右下的最短时间
我是邪恶的分割线
2H1−H2∗2H2−H3=2H1−H3
完
2.带限制条件的最短路
双向图，无负权
每条边有长度L和花费K两个值
你有一定的钱数
用给定的钱数，走一条最短路。
N≤100
L,K≤10000
我是邪恶的分割线
很朴素的做法是
用dij的heap做，
每次只要到某点的花费 ≤ K，就把他放进heap里
同时，仍然是把距离最短的作为堆顶
这样弹弹弹，第一个弹出的目的点，必然是距离最短且花费符合的。
3.变形：字符串变化
World Finals 2009
给出n个字符串后缀替换规则，每个由长度L不超过20的两个等长字符串A,B表示，表示若当前字符串以A为后缀，可以将其替换为B。现给出等长串S和T，问能否替换，最少操作多少次？
例，给出规则如下
1.A - B
2.AB - BA
3.AA - CC
4.CC - BB
S ： AA
T ： BB
可以 AA - AB(1) - BA(2) - BB(1)
也可以 AA - CC(3) - BB(4)
n <= 100
我是邪恶的分割线
首先，如果搜索是会GG的，因为状态很多，会炸。
我们假设，给出的所有规则，长度一样
那么，是不是就变得和之前的题目0一样，可以连边确定最短路
同时，长度为 L 的状态涉及的变化，是与大于L的长度的状态无关的
再看题目，对于给定长度L
我们必然是 从长度L的初始态，经过某些变化，经过了某些长度L的中间态（也可能没有）（PS:这里的中间态，指的是题目中给出的规则中出现的状态），变为了长度L的最终态
且，两种长度L的相邻的状态（存在于给定规则中），其变化必然不涉及其他的给定中间态。只涉及长度 <L 的状态。
而两种
所以，只需求出任意两种长度L的状态之间的最短变化距离即可
那么，依次递归，求出某长度下状态间的最短路。
说的有点乱，举个栗子
对于 AAAA - DDDD
如果是按下面的顺序变完
AAA - BBB
BB - CC
BCC - BCD
ABCD - PDDP
DDP - DDD
PDDD - DDDD
这样的规则
对于长度为 4 的串 实际中出现了很多
但 我们要求的只是 AAAA ABCD PDDP PDDD DDDD 之间的距离
在假定递归完成的情况的
我们知道了 所有出现在规则中的长度相同的串之间的最短距离
首先 从 A*** 转化到 P*** 这样的转化，必然是需要一个“出现在规则中的”长度为4的串
而在A*** 和 A***之间的转化会涉及到长度小于4的串
这个时候，已经与 A 无关，纯粹的是 * 与 * 之间的转化
而 * 和 * 的出现次数有有限的，就是规则中出现的。
所以
1、把所有的长度为 1 的规则 计算 转化距离
如 A - B A - K (因为 n = 100, 所以最多 200 点)
2、对于长度为2的所有出现的规则（包括后缀）
如果有直接变化规则，加一条权值为1的边
否则，如果是A* - A*的形式，加 * - *的最短路（已经求出）
求最短路
3、对于长度为3的所有出现的规则
如果有直接变化规则，加一条权值为1的边
否则，如果是A** - A** 的形式，求 * - * 的最短路即可
（AA* - AA* 的形式，包含在内）
结点对距离直接用Floyd的话，复杂度为 O(L∗v3) ，可以接受
如果用SPFA的话会更快。
4.套路题：逃亡的小动物
一个 N∗M 的网格图，且每个格子的左上与右下相连，如下
边有权重
小动物从左上向右下逃亡，问最少多少人手可以阻止小动物成功逃亡。
n,m≤1000
权值 ≤106
PS:不许跑网络流
我是邪恶的分割线
套路之平面图最小割
首先这是一个平面图
在图论中，平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。而如果一个图无论怎样都无法画在平面上，并使得不同的边互不交叠，那么这样的图不是平面图，或者称为非平面图。
建立其对偶图
假设G=
5. 套路题：牛排队
n只牛排队，从1到n，按编号顺序
同时有一些限制：
1、x 牛 y 牛 距离不能超过 maxd
2、x 牛 y 牛 距离不得小于 mind
求方案使得牛排的队最长
我是邪恶的分割线
套路之差分约束系统
转化为最短路做
有两种情况
不能超过 dy≤dx+maxd
不得小于 dx≤dy−mind
分别是添加单向边
x 向 y maxd
y 向 x - mind
还有默认的 dx≤d(x+1)+0
x+1 向 x 添加 0 的单向边
然后跑一发 1 到 n 的最短路
- 负环 无解
- 无路 无穷大
- 有解 即为解
为什么这样就能解决这个问题呢？
我们看最短路的一个描述
d[v]≤d[u]+w[u,v]
d[i] 表示 源点到 i 点 的 实际最短路
w[i,j] 表示 i 到 j 的距离
最短路是不是就是这玩意儿？
那么，符合这描述的，是不是就是最短路？
好神奇也……
参考内容
1.百度百科
2.https://wenku.baidu.com/view/6b90bc59ad02de80d4d840e6.html
3.ACM国际大学生程序设计竞赛 题目与解读（俞勇主编）