【汉诺塔问题】UVa 10795 - A Different Task

【经典汉诺塔问题】

　　汉诺（Hanoi）塔问题：古代有一个梵塔，塔内有三个座A、B、C，A座上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上。有一个和尚想把这64个盘子从A座移到B座，但每次只能允许移动一个盘子，并且在移动过程中，3个座上的盘子始终保持大盘在下，小盘在上。在移动过程中可以利用B座，要求打印移动的步骤。如果只有一个盘子，则不需要利用B座，直接将盘子从A移动到C。

• 如果有2个盘子，可以先将盘子1上的盘子2移动到B；将盘子1移动到c；将盘子2移动到c。这说明了：可以借助B将2个盘子从A移动到C，当然，也可以借助C将2个盘子从A移动到B。
• 如果有3个盘子，那么根据2个盘子的结论，可以借助c将盘子1上的两个盘子从A移动到B；将盘子1从A移动到C，A变成空座；借助A座，将B上的两个盘子移动到C。这说明：可以借助一个空座，将3个盘子从一个座移动到另一个。
• 如果有4个盘子，那么首先借助空座C，将盘子1上的三个盘子从A移动到B；将盘子1移动到C，A变成空座；借助空座A，将B座上的三个盘子移动到C。

即：f(n)=f(n-1)+1+f(n-1)=(2^n)-1;　　f(1)=1;

 

代码如下：

 1 #include <iostream>

 2 #include <cstdio>

 3 using namespace std;

 4 

 5 int step = 0;

 6 void move ( char sour, char dest )

 7 {

 8     printf ( "move from %c to %c \n", sour, dest);

 9 }

10 void hanoi ( int n, char sour, char temp, char dest )

11 {

12     if (n == 1)

13     {

14         move (sour, dest);

15         ++step;

16     }

17     else

18     {

19         hanoi ( n-1, sour, dest, temp );

20         move (sour,dest);

21         ++step;

22         hanoi ( n-1, temp, sour, dest );

23     }

24 }

25 int main ()

26 {

27     int n = 4;

28     hanoi ( n, 'A', 'B', 'C' );

29     printf ( "Total steps is %d\n", step );

30     return 0;

31 }

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【新汉诺塔问题】

　　给定初始局面和目标局面，求从初始局面到目标局面至少需要多少步。

分析:

• 参考局面：待移动盘子k在其初始柱子上且k上无其他盘子，k的目标柱子为空，中间柱子从上到下依次为1,2，...，k-1盘子。
• 首先找不在目标柱子上最大的盘子k，因为如果最大的盘子在目标柱子上它不需要移动，也不碍事。
• 剩下的任务与经典汉诺塔问题类似，即将k-1个盘子移到参考局面；将盘子k移到目标柱子；再将k-1个盘子移到目标局面（因移动是可逆的，故可看做是将目标局面的盘子移到参考局面）。可以看出这是个递归问题。

即我们需要一个函数f(P, i, final) : 将编号为1~i的盘子全部移到柱子final上所需要的步数（数组P表示各盘子的初始柱子编号，除去盘子的初始柱子x和最终柱子y剩下的那根柱子编号为6-x-y，因为只有柱子1,2,3）;

则：ans = f(start,k-1,6-start[k]-finish[k])+f(finish,k-1,6-start[k]-finish[k])+1;

至于函数f的计算，当i为0时，无需移动；否则将1~i-1的盘子全部移到参考局面。若i-1号盘子本身在中转柱子上，那么就等同于只移动1~i-2号盘子到final柱子上。移动1~i-1号盘子由参考局面到目标局面的过程即为经典汉诺塔过程，步数为2^(i-1)-1;此处注意答案要用long long；

 代码如下：

 1 #include<iostream>

 2 #include<cstdio>

 3 #include<cstdlib>

 4 using namespace std;

 5 const int maxn = 65;

 6 int n, A[maxn], B[maxn];

 7 //f(P, i, final) : 将编号为1~i的盘子全部移到柱子final上所需要的步数

 8 //（数组P表示各盘子的初始柱子编号，除去盘子的初始柱子x和最终柱子y剩下的那根柱子编号为6-x-y）

 9 long long f(int* P, int i, int fin)

10 {

11     if(!i) return 0;

12     if(P[i] == fin) return f(P, i-1, fin);

13     return f(P, i-1, 6-P[i]-fin) + 1 + ((1LL << (i-1)) - 1);

14 }

15 int main()

16 {

17     int kase = 0;

18     while(scanf("%d", &n) && n)

19     {

20         for(int i = 1; i <= n; i++)

21         {

22             scanf("%d", &A[i]);

23         }

24         for(int i = 1; i <= n; i++)

25         {

26             scanf("%d", &B[i]);

27         }

28         int k = n;

29         while(k && A[k] == B[k])    k--;

30 

31         long long ans = 0;

32         if(k >= 1)

33         {

34             int tmp = 6-A[k]-B[k];

35             ans = f(A, k-1, tmp) + 1 + f(B, k-1, tmp);

36         }

37         printf("Case %d: %lld\n", ++kase, ans);

38     }

39     return 0;

40 }