矩阵-DirectX与OpenGL的不同

矩阵是三维图形学中不可或缺的部分，几乎所有和变换相关的操作都涉及矩阵，世界变换，视图变换，投影变换，视口变换无一不需要矩阵，但是当今的两大主流图形库DirectX和OpenGL对矩阵操作却有着细微的差别，大多数的图形学书籍都以OpenGL为基础进行阐述，游戏编程类的书籍则更多使用DirectX，这就难免产生混淆，今天这篇主要讲讲两者在操作矩阵的时候有何不同。

矩阵

在三维图形学中，一般使用四维矩阵，也就是四行四列的方阵，下面是一个典型的四维矩阵

既然是三维图形学，为什么使用四维矩阵呢？主要有两个原因，第一，为了平移变换，第二，为了区别点和向量。

行向量与列向量

对于一个四维向量，它是行向量还是列向量呢？DirectX使用行向量，如下。

而OpenGL则使用列向量，如下

或者写成

矩阵与向量相乘

顶点进行几何变换的过程，从数学层面讲，就是顶点和矩阵相乘产生新顶点的过程，那么向量与矩阵相乘时顺序是怎样的呢？这取决于该向量是行向量还是列向量，我们知道两个矩阵Aij和Bxy若能相乘，则必须满足j=x才行，也就是说左边矩阵的列数要等于右边矩阵的行数，由于行向量和列向量本质上也是矩阵，也满足矩阵乘法的规律。

在DirectX中，使用行向量，所以向量和矩阵相乘的时候，向量在左，矩阵在右，如下。

而OpenGL中则使用列向量，相乘的时候矩阵在左，向量在右，如下。注意矩阵乘法中，若用^表示转置，则(AB)^=B^A^，所以下面的矩阵与DirectX中的矩阵互为转置矩阵，感谢网友ello指点。

比如对于平移变换来说，如果使用DirectX，那么m41,m42,m43分别对应三个平移分量，对应下面的Tx,Ty和Tz。

如果使用OpenGL，那么m11,m21,m31分别对应三个平移分量。

可以看出，对于同一个变换，DirectX中的矩阵和OpenGL中的矩阵互为转置矩阵。

矩阵连乘

如果有多个变换作用于一个顶点，那么可以先将所有的变换矩阵相乘，得到一个变换矩阵，最后将这个变换矩阵应用到顶点即可，这就涉及到矩阵的连乘，这时候如何安排矩阵的先后顺序呢？假设现在有三个变换，分别是平移变换，对应矩阵T，旋转变换，对应矩阵R，缩放变换，对应矩阵S，顺序是先平移，再旋转，后缩放，那么这个矩阵乘法该如何去写呢？

在DirectX中，矩阵乘法的顺序是从左到右，变换生效的先后顺序也是从左到右

而在OpenGL中，矩阵连乘的顺序是从右到左

不管是哪种方式，都是先产生作用的矩阵离顶点近（上面的T），后产生作用的矩阵离顶点远（上面的S）。

一个误区，左手系与右手系

矩阵乘法的顺序与坐标系是左手系还是右手系有关系么？根本没啥关系！

常用变换矩阵

下面给出几种常用的变换在DirectX和OpenGL中对应的矩阵，下图中左面是DirectX中的矩阵，右面是OpenGL中的矩阵。

平移变换

          

绕X轴旋转

          

绕Y轴旋转

          

绕Z轴旋转

          

缩放变换

缩放变换矩阵，两者是一致的，因为缩放变换的变换因子都在矩阵的对角线上，所以转置矩阵等于其自身。