数字图像处理（3）—— 卷积

目录

1、卷积概述

2、图像的卷积操作

2.1、基于 MATLAB 程序的图像卷积操作

2.2 基于OpenCV的数字图像卷积操作

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1、卷积概述

        卷积这个概念在很多领域中出现，比如信号与系统、数字信号处理、图像分类等等。那么什么是卷积？卷积有什么用？如何计算卷积呢？为了全面认识卷积，本文将从数学原理、物理意义等对卷积进行学习。

        卷积是泛函分析中的一个数学算子，表示两个函数f,g经过翻转和平移变换后重叠部分的面积[1]。https://www.cnblogs.com/alexanderkun/p/8149059.html 这篇博客讲的已经很清晰了，大家可以参考一下。从学院派的角度来看待卷积这个计算，对于连续性方程，给出如下积分形式：        

我们首先复习一下函数的变换，假设一个函数 f(x) ，则对于 f(x) 有以下的几何变换，假设变换存在：

函数	几何意义
f(x)	原始函数
f(-x)	关于 y 轴对称
-f(x)	关于 x 轴做对称
f(x+a)       a为任意实数	f(x) 向左平移 a，若a为负，则为向右平移 |a|
f(x)+a       a为任意实数	f(x) 向上平移a，若a为负，则为向下平移 |a|
b*f(x)        b 为任意正实数	x 不变，y = y*b
f(bx)         b 为任意正实数	在x轴上的伸缩变换
f(x)g(x)     g(x) 为一个函数	无实际的几何意义

        人们常用于形容卷积计算的翻转的含义就可以理解了。对于两个函数 f(x) ,g(x) 定义卷积运算为：将 g(x) 翻转成为 g(-x)，然后再进行平移 t 得到 g(-x+t) 则与 f(x) 乘积后的积分就是卷积了。

然后就是离散形式的卷积：

在信号与系统中，系统的零状态响应 = 激励 * 冲击响应（激励函数和冲击响应函数的卷积）。在图像处理中，也可以这样理解（这是我个人的看法），卷积后的图像就是输入图像与卷积核的卷积运算。一般图像的卷积作为滤波器，或者提取特征使用。

2、图像的卷积操作

2.1、基于 MATLAB 程序的图像卷积操作

        之前我们提到，在MATLAB中，图像是以矩阵的形式存放的，那么对于矩阵的卷积操作是什么样的呢？推荐这篇：

https://blog.csdn.net/qq_38906523/article/details/80520950  ，讲解得非常清楚。

        通常为了计算图像的卷积，需要将卷积核进行180°的旋转，然后把卷积核的中心与被计算像素点中心对齐。如果超出图像大小，则在边缘补 0。

clear
clf
clc
I = imread('lena.jpg');
A = [1 1 1;1 1 1;1 1 1];
B = [1 0 -1;1 0 -1;1 0 -1];
C = [1 1 1;1 0 1;1 1 1];
D = [1 1 1;0 1 1;0 0 1];


subplot(2,2,1);
imshow(imfilter(I,A,'replicate','same',conv));
title('卷积核A');

subplot(2,2,2);
imshow(imfilter(I,B,'replicate','same',conv));
title('卷积核B');

subplot(2,2,3);
imshow(imfilter(I,C,'replicate','same',conv));
title('卷积核C');

subplot(2,2,4);
imshow(imfilter(I,D,'replicate','same',conv));
title('卷积核D');

        对于不同的卷积核，输出的图像情况不同。

2.2 基于OpenCV的数字图像卷积操作

        原理不变。

#include 
using namespace cv;

int main()
{
	Mat blurA,blurB,blurC,blurD;
	Mat img = imread("test.jpg");	//  载入一张图片
	// 定义卷积核
	float A[9] = { 1,1,1, 1,1,1, 1,1,1 };
	float B[9] = { 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1 };
	float C[9] = { 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1 };
	float D[9] = { 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1 };
	// 卷积核改为矩阵
	Mat conv_kernel_A = Mat(3, 3, CV_32F, A);
	Mat conv_kernel_B = Mat(3, 3, CV_32F, B);
	Mat conv_kernel_C = Mat(3, 3, CV_32F, C);
	Mat conv_kernel_D = Mat(3, 3, CV_32F, D);
	// 卷积计算
	filter2D(img, blurA, img.depth(), conv_kernel_A);
	filter2D(img, blurB, img.depth(), conv_kernel_B);
	filter2D(img, blurC, img.depth(), conv_kernel_C);
	filter2D(img, blurD, img.depth(), conv_kernel_D);

	imshow("test", img);			//  在窗口中显示载入的图片
	imshow("blurA", blurA);
	imshow("blurB", blurB);
	imshow("blurC", blurC);
	imshow("blurD", blurD);
	waitKey(0);						//  等待按键按下退出
	return 0;
}

 

参考

[1] https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%B7%E7%A7%AF/9411006?fr=aladdin