洛谷蓝题解题报告（2020.8.4-2020.8.9）

2020.8.4

P1450 [HAOI2008]硬币购物

考察：背包dp,容斥原理
主要是一个dp容斥的思想：
用背包处理无数量限制的方案值，减去某些硬币超出数量限制的方案值。
减去不合规范方案的方法：
直接将总的钱数减去（该硬币数+1）*该硬币价值进行dp，确保该硬币超出限制。
最后套一下容斥原理的公式即可。

P1438 无聊的数列

考察：线段树，差分
区间求和，区间修改，自然想到线段树，以等差数列的方式修改，自然想到用相邻两数之差（即差分的思想）进行建树，查询时即为1-i的区间和。
几乎是个线段树差分的模板题。

P2279 [HNOI2003]消防局的设立

考察：树形dp
看到树，看到求最小值，自然想到树形dp.
树形dp就是从子孙的状态向父亲的状态推，根据题意，两个消防局之间可以至多空4个点，因此想到设状态为子树中离自己最近的消防局的距离，从1-4不同的状态转移到父节点。
树形dp的准板子题

P1463 [POI2002][HAOI2007]反素数

考察：搜索
题意即为1-N区间内找约数最多的数
看到N的范围，这里用质数筛，用约数公式，用dp都不好使
想到每个数分解成质因数的数量是log级别的
于是筛出1-20之间的素数，暴力枚举每个质数的个数，用约数个数公式比较计算。
一种全新的计算约数个数的思维。

P1490 买蛋糕

考察：搜索
题意为用最小个数的正整数去表示$1-n$中的所有数。
联系到经典的贴邮票问题，$n$的范围$10^3$，想到搜索。
每次搜索，都尝试在已经选择的数后再添加一个更大的数，设已选择数列的最大值为$max$,可以组成的最大的数为$sum$，已经选了$num$个数。
枚举下一个数i的范围$[max+1,sum+1]$，容易得到，添加数后$sum$应改为$sum+i$.
简而言之：

dfs(num,sum,max)
	for i<-max+1 to sum+1 do
		dfs(num+1,sum+i,i)

2020.8.5

P1641 [SCOI2010]生成字符串

考察：卡特兰数
卡特兰数应用的经典例题。
详细见：卡特兰数，折线定理。
这里给出公式：$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n+m}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1}{n+m}\right)$。
详细证明见百度

P1492 猩猩散步

考察：组合数
式子很好列，关键是答案的输出。
肯定是要用到高精(python)
这里我们考虑一种非常朴素的计算答案的方法。
对组合数进行约分
如何约分？
对$1-m+n$的所有数进行素因数分解（其实只需要一个最小质因数的值）
若在分子上，就将这个素因数的出现次数+1，若在分母上，出现次数-1.最后把所有的素因数乘起来，高精100位数组即可。

2020.8.6

P1005 矩阵取数游戏

考察：区间DP，高精
容易想到，对于每一行取数的最大值，等于先取左边数与先取右边数的较大值。
因此运用区间DP。
转移方程：
$dp[k][k+j]=max(2\ast dp[k+1][k+j]+2\ast grid1[i][k],2\ast dp[k][k+j-1]+2\ast grid1[i][k+j])$
其中$dp[i][j]$为$i-j$列取数的最大值，$grid1[i][j]$为矩阵上$a_{i,j}$的值。
对于每一行分别处理再相加即可。
至于高精，重载运算符后正常算就好。

P1278 单词游戏

考察：搜索
看到这个N的范围就知道用搜索了。
先预处理每个单词能往后接的所有单词，用向量存一下。
然后大力搜，枚举每一个单词作为开头的单词。
注意:
对于每一个搜索到的状态压缩存储起来，空间复杂度是$O（2^N）$，时间复杂度$O（2^N）$.

2020.8.7

P2261 [CQOI2007]余数求和

考察：数论分块
$k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)$的形式难以计算，考虑最朴素的转化方式。
$k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)=k-\lfloor (\frac{k}{i})\rfloor \ast i$
右边的式子直接数论分块愉快AC