一元函数求一阶导

函数求导

导数与微分

微分：对函数$y=f(x)$定义域中的一点$x_0$，若存在一个只与$x_0$有关，而与$\Delta x$无关的数$g(x_0)$，使得当$\Delta x\to 0$时恒成立关系式$\Delta y=g(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$，则称$f(x)$在$x_0$处可微，微分为$\mathrm{d}y=g(x_0)\mathrm{d}x$，即当$\Delta \to 0$时$\Delta y$的线性主部。

导数：对函数$y=f(x)$定义域中的一点$x_0$，如果存在极限
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{f}^{\prime }(x_0),$$
则称$f(x)$在$x_0$处可导，导数为$f^{\prime }(x_0)$。

命题：一元函数$f(x)$在$x_0$处的可导与可微等价。

证明：

如果可微，即存在关系式$\Delta y=g(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$，则
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g(x_0)\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}=g(x_0)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{f}^{\prime }(x_0).$$
即证明了可导。

如果可导，即存在一个$f^{\prime }(x_0)$使得$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)$，则
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[\frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime }(x_0)]=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y-f^{\prime }(x_0)\Delta x}{\Delta x}=0,$$
即
$$\Delta y-f^{\prime }(x_0)\Delta x=o(\Delta x),\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$$
即证明了可微。

用定义对一些初等函数求导

常数函数的导数恒等于$0$，以下出现$\Delta x$的式子均省略$\Delta x\to 0$。

一、求$y=\sin x$的导函数
$$\begin{array}{rl}\frac{\sin (x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=& \frac{2\cos \frac{2x+\Delta x}{2}\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}\\ =& \cos \frac{2x+\Delta x}{2}\\ =& \cos x.\\ \Downarrow & \\ (\sin x{)}^{\prime }=& \cos x.\end{array}$$
二、求$y=\cos x$的导函数
$$\begin{array}{rl}\frac{\cos (x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}=& \frac{-2\sin \frac{2x+\Delta x}{2}\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}\\ =& -\sin \frac{2x+\Delta x}{2}\\ =& -\sin x.\\ \Downarrow & \\ (\cos x{)}^{\prime }=& -\sin x.\end{array}$$
三(1)、求$y=\ln x$的导函数
$$\begin{array}{rl}\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}=& \frac{\ln \frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}\\ =& \frac{\ln (1+\frac{\Delta x}{x})}{x\cdot \frac{\Delta x}{x}}\\ =& \frac{1}{x}.\\ \Downarrow & \\ (\ln x{)}^{\prime }=& \frac{1}{x}.\end{array}$$
三(2)、求$y={\log }_{a}x$的导函数
$$\begin{array}{rl}\frac{{\log }_a(x+\Delta x)-{\log }_{a}x}{\Delta x}=& \frac{1}{\ln a}\cdot \frac{\ln (x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}\\ =& \frac{1}{x\ln a}.\\ \Downarrow & \\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=& \frac{1}{x\ln a}.\end{array}$$
四(1)、求$y=e^x$的导函数
$$\begin{array}{rl}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=& e^x\cdot \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=e^x.\\ \Downarrow & \\ (e^x{)}^{\prime }=& e^x.\end{array}$$
四(2)、求$y=a^x$的导函数
$$\begin{array}{rl}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=& a^x\cdot \frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ =& a^x\ln a.\\ \Downarrow & \\ (a^x{)}^{\prime }=& a^x\ln a.\end{array}$$
五、求$y=x^a$的导函数
$$\begin{array}{rl}\frac{(x+\Delta x{)}^a-x^a}{\Delta x}=& \frac{x^a[(1+\frac{\Delta x}{x}{)}^a-1]}{x\cdot \frac{\Delta x}{x}}\\ =& a{x}^{a-1}.\\ \Downarrow & \\ (x^a{)}^{\prime }=& a{x}^{a-1}.\end{array}$$

求导（微）的四则运算法则

法则1（线性求导）：$[c_{1}f(x)+c_{2}g(x){]}^{\prime }=c_1{f}^{\prime }(x)+c_2{g}^{\prime }(x)$，$\mathrm{d}[c_{1}f+c_{2}g]=c_1\mathrm{d}f+c_2\mathrm{d}g$。

证明：
$$\begin{array}{rl}[c_{1}f(x)+c_{2}g(x){]}^{\prime }=& \frac{[c_{1}f(x+\Delta x)+c_{2}g(x+\Delta x)]-[c_{1}f(x)+c_{2}g(x)]}{\Delta x}\\ =& \frac{c_1[f(x+\Delta x)-f(x)]}{\Delta x}+\frac{c_2[g(x+\Delta x)-g(x)]}{\Delta x}\\ =& c_1{f}^{\prime }(x)+c_2{g}^{\prime }(x).\end{array}$$
法则2（乘法求导）：$[f(x)\cdot g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$，$\mathrm{d}[fg]=(\mathrm{d}f)g+f(\mathrm{d}g)$。

证明：
$$\begin{array}{rl}[f(x)g(x){]}^{\prime }=& \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ =& \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x+\Delta x)g(x)}{\Delta x}+\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ =& f(x+\Delta x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x)\\ =& f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).\end{array}$$
法则3（倒数求导）：$[\frac{1}{g(x)}{]}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$，$\mathrm{d}(\frac{1}{g})=-\frac{\mathrm{d}g}{g^2}$。

证明：
$$\begin{array}{rl}{\left[\frac{1}{g(x)}\right]}^{\prime }=& \frac{\frac{1}{g(x+\Delta x)}-\frac{1}{g(x)}}{\Delta x}\\ =& \frac{1}{g(x+\Delta x)g(x)}\cdot \frac{g(x)-g(x+\Delta x)}{\Delta x}\\ =& \frac{-g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}.\end{array}$$
法则4（除法求导）：$[\frac{f(x)}{g(x)}{]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g(x)}{[g(x){]}^2}$，$\mathrm{d}[\frac{f}{g}]=\frac{(\mathrm{d}f)g-f(\mathrm{d}g)}{g^2}$。

证明：法则2+法则3=法则4。

法则5（多项乘法求导）：可用数学归纳法证明。
$${\left[\prod _{i=1}^n{f}_i(x)\right]}^{\prime }=\sum _{i=1}^n\left[f_i^{\prime }(x)\prod _{j=1;j\ne i}^n{f}_j(x)\right].$$

反函数求导

命题：若函数$y=f(x)$在$(a,b)$上连续、严格单调、可导且$f^{\prime }(x)\ne 0$，记$\alpha =\min (f(a^{+}),f(b^{-})),\beta =\max (f(a^{+}),f(b^{-}))$，则反函数$x=f^{-1}(y)$在$(\alpha ,\beta )$上可导，且$[f^{-1}(y){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$。

证明：

由反函数存在定理，$x=f^{-1}(y)$存在，且$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\ne 0$，等价于
$$\Delta x=f^{-1}(y+\Delta y)-f^{-1}(y)\ne 0.$$
且当$\Delta x\to 0$时有$\Delta y\to 0$（以上可以通过图像看出）。
$$\begin{array}{rl}[f^{-1}(y){]}^{\prime }=& \underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f^{-1}(y+\Delta y)-f^{-1}(y)}{\Delta y}\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{f(x+\Delta x)-f(x)}\\ =& \frac{1}{f^{\prime }(x)}.\end{array}$$
这一点可以记作
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}={\left[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]}^{-1}.$$

用反函数求导求反三角函数的导数

一、求$y=\arcsin x,x\in [-1,1]$的导函数

这里$x=\sin y,y=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$是其导函数，所以
$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}={\left[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right]}^{-1}\\ =& \frac{1}{\cos y}\\ =& \frac{1}{\cos \arcsin x}\\ =& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\end{array}$$
二、求$y=\arccos x,x\in [-1,1]$的导函数

这里$x=\cos y,y\in [0,\pi ]$是其反函数，所以
$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}={\left[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right]}^{-1}\\ =& -\frac{1}{\sin y}\\ =& -\frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}\\ =& -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\end{array}$$
三、求$y=\arctan x,x\in \mathbb{R}$的导函数

这里$x=\tan y,y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$是其反函数，所以
$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}={\left[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right]}^{-1}\\ =& \frac{1}{{\sec }^{2}y}\\ =& \frac{1}{1+{\tan }^{2}y}\\ =& \frac{1}{1+x^2}.\end{array}$$

复合函数求导的链式法则

命题：设$u=g(x)$在$x=x_0$处可导且$y=f(u)$在$u=u_0=g(x_0)$处可导，则复合函数$y=f(g(x))$在$x=x_0$处可导，且有$[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(u_0)g^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))g^{\prime }(x_0)$。

证明：

由于$y=f(u)$在$u_0$处可导，所以可微，故存在一个无穷小量$\alpha$满足$\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\alpha =0$，且
$$f(u_0+\Delta u)-f(u_0)=f^{\prime }(u_0)\Delta u+\alpha \Delta u.$$
如果让$\Delta u=0$时$\alpha =0$，则上式对$\Delta u=0$依然成立。设$\Delta u=g(x_0+\Delta x)-g(x_0)$，这样就有
$$\frac{f(u_0+\Delta u)-f(u_0)}{\Delta x}=\frac{f(g(x_0+\Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}=f^{\prime }(u_0)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}.$$
令$\Delta x\to 0$，则由$\Delta u=g(u_0)\Delta x+o(\Delta x)$得$\Delta u\to 0$，于是
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(g(x_0+\Delta x))-f(g(x_0))}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(u_0)g^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0)\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\alpha =f^{\prime }(u_0)g^{\prime }(x_0).$$
也可以写成链式法则：
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$$
微分形式为
$$\mathrm{d}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$

由此可以推出一阶微分的形式不变性，即$u=g(x),y=f(u)$，有
$$\mathrm{d}[f(u)]=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u.$$
虽然这里$u$不是自变量，但依然可以把$u$当成自变量来计算$f(u)$的微分。

对数求导法

对数求导法适用于形如$y=f(x)=u(x{)}^{v(x)}$的函数求导，这种函数也叫幂指函数。

首先令$z(x)=\ln y=v(x)\ln u(x)$，则
$$\begin{gathered} z^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)\ln u(x)+\frac{v(x)u^{\prime }(x)}{u(x)}, \\ {z}^{\prime }(x)=\frac{y^{\prime }(x)}{y(x)}, \end{gathered}$$
综合两式得到
$$y^{\prime }(x)=\left[v^{\prime }(x)\ln u(x)+\frac{v(x)u^{\prime }(x)}{u(x)}\right]\cdot u(x{)}^{v(x)}.$$
这是一种将复杂函数转化为简单初等函数求导的方法，重点是找到一个转换关系充当$y$与$u,v$之间的桥梁。

隐函数求导

隐函数求导依赖于复合函数的求导法则、乘法求导法则与一阶微分的形式不变性。在求导时直接对隐函数的两边同时求微分或者求导即可。如
$$e^{xy}+x^{2}y=1,$$
两边同时求导，有
$$(y+x{y}^{\prime })e^{xy}+2xy+x^2{y}^{\prime }=0$$
解出
$$y^{\prime }=-\frac{y{e}^{xy}+2xy}{x{e}^{xy}+x^2}=-\frac{y(e^{xy}+2x)}{x(e^{xy}+x)}.$$
对于变量分离的隐函数$g(y)=f(x)$，两边同时求微分，得到
$$g^{\prime }(y)\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(y)}.$$
这里$g^{\prime }(y)$是将$y$视为自变量，对$y$的导数。

隐函数求导得到的导数一般含有$y$，但在使用时没有妨碍。

参数方程求导

设$x,y$的函数关系由参数形式确定，即
$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t).\end{array}$$

如果$\phi (t)$严格单调且$\phi (t)\ne 0$，则有
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}=\frac{{\psi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))}{{\phi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))}.$$
证明：

因为$x=\phi (t)$严格单调且递增，所以存在反函数$t={\phi }^{-1}(x)$，所以$y=\psi ({\phi }^{-1}(x))$，由复合函数求导法则得到
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}={\psi }^{\prime }({\phi }^{-1}(x))\cdot [{\phi }^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}.$$