1.引言
标准车辆路径问题VRP是把给定的所有顾客指派到对应车辆/载具，确定车辆访问顾客的顺序，使得车辆的行驶里程最小。但在实际应用中，由于资源有限或操作受限等原因，只有一部分顾客能够被服务或访问。这类问题可建模成：给定顾客集合，考虑选择其中的一个子集进行访问，在满足车辆某些运营条件下优化特定目标。Team Orienteering Problems（TOP）就是这样一类问题，其优化目标是：在满足车辆行驶时间不超过给定阈值前提下，最大化访问的顾客的总收益。另一种问题为Profitable Tour Problem（PTP），其优化目标为最大化净收益=收益-行驶费用（和行驶距离相关）。考虑车辆容量约束时，TOP的变体就是Capacitated Team Orienteering Problem（CTOP）。类似地，考虑车辆容量约束的PTP为Capacitated Profitable Tour Problem（CPTP）。
由于TOP是NP-hard的组合优化问题，精确算法在求解大规模问题时比较吃力。本文提出一个通用、新颖的双层启发式算法来求解CTOP：上层通过Filter-and-Fan方法确定要访问的顾客子集来最大化总收益；下层通过变邻域下降（Variable Neighborhood Descent）算法来最小化车辆的总里程。Filter-and-Fan方法结合了禁忌搜索和filter-and-fan Search策略，考虑大邻域结构和多条搜索路径来克服局部最优性。本文提出的Bi-level Filter-and-Fan方法要优于已有的求解CTOP的启发式算法，且在大规模CTOP测试用例上表现出色：能够在较短的计算时间内改进当前已知的最优解。
CTOP可以用一个完全无向图
每条弧(i,j)∈A都对应一个非负费用$c_{ij}$，$c_{ij} = c_{ji}$。共有K辆完全相同的车辆，容量为Q，从仓库出发访问完节点后最终会到仓库。整数规划形式如下
变量$x_{ijk}$ -车辆k是否经过弧（i,j），表示车辆k的访问路径。变量$y_{ik}$-车辆k是否访问节点i。
约束（2）表示一共有K辆车离开仓库，又返回到仓库，限制车辆的总数；
约束（3）限制每个节点最多被访问一次；
约束（4）保证车辆k行驶路径的连通性，如果车辆k访问节点i，那么车辆k一定经过某条边到达节点i、一定经过某条边从节点i出发；
约束（5）限制车辆k的行驶总时间不超过给定阈值T；
约束（6）限制车辆k的装载量不超过其容量Q；
约束（7）限制车辆k访问的路径中没有子回路；
约束（8）限制变量$x_{ijk}$ 、$y_{ik}$为二元变量。
上述整数规划中变量个数随问题规模增加而快速增加：$x_{ijk}$个数为O($n^2$K)、$y_{ik}$个数为O(nK)。
3.求解方法
3.1整体求解框架
本文将CTOP分解为一个主问题-背包问题（knapsack problem），子问题-有容量限制的车辆路径问题（CVRP）。主问题确定要访问的节点子集来最大化总收益，子问题对于给定的节点集合，确定车辆路径即车辆访问节点顺序，来最小化车辆总里程。基于此分解思路，设计双层搜索方法Filter-and-Fan method来求解CTOP。
首先，通过启发式方法构造初始可行解；然后，使用禁忌搜索（Tabu Search）从初始可行解出发得到局部最优解；其次，使用filter-and-fan Search对局部最优解进行改进，得到新的局部最优解；然后对新的局部最优解重复Tabu Search、filter-and-fan Search步骤，直到不能被改进为止。整个求解框架重复、交替进行禁忌搜索（Tabu Search）和filter-and-fan Search，直到局部最优解不能被改进，返回得到的局部最优解。 Bi-level指的是在禁忌搜索和Filter-and-Fan Search中使用变邻域下降算法VND。
3.2构造初始可行解：并行贪婪插入
以仓库为中心，T/2为半径的圆内所有节点为选中的节点，将这些选中的节点按照收益从高到低排序。对每个节点，考虑在每辆车可行的插入位置。迭代地，依次将选中的节点插入到费用最小的位置上，这里费用最小（即“贪婪”）包括两个方面：一方面指车辆的总行驶时间尽可能短，另一方面指车辆的行驶距离尽可能短。直至选中的节点都安排到车辆路径中。初始可行解即为K辆车的访问路径。
3.3上层搜索策略：收益最大化
3.3.1 收益导向的邻域结构
上层搜索策略以最大化选中节点的总收益为目标，因此定义了三种以收益为导向的邻域结构：1–1 Replace, 2–1 Replace and 1–2 Replace。
1–1 Replace：将路径r中某个节点i（被选中的节点/顾客）与一个没有被选中的节点j 交换。在移除节点i前/后，检查节点j可行的插入位置。特别地，如果不需要移除节点i，就找到节点j的可行插入位置，该操作就退化为单点插入；
2–1 Replace：去掉路径中的两个节点（被选中的节点），插入一个未被选中的节点。移除两个被选中的节点后，检查可行的插入位置；
1–2 Replace：去掉路径中的一个节点，插入两个未被选中的节点。移除被选中的节点后，检查可行的插入位置；
上面的操作是去掉被选中的节点，插入未被选中的节点，而每个节点对应收益，这些操作直接影响总收益，所以称为“收益为导向”。从初始可行解出发，使用上述邻域结构，可产生对应的邻域。时间复杂度均为多项式时间，依次为O($n^3$)、O($n^4/2$)、O($n^5/2$)。
在局部搜索过程中，为减少计算时间，评估邻域中解的收益时，只需要考虑受影响的路径（有节点移除、插入），其他不受影响的路径其收益不变。这就需要有特定的数据结构来存储访问过的解的信息，下面的filter-and-fan Search方法可解决该问题。
3.3.2 禁忌搜索（Tabu Search）
禁忌搜索是一种常见的邻域搜索方法，从初始解s出发，迭代从邻域$ϕ_y(s)$中选择不在禁忌列表中的允许解（admissible solution）进行访问，直到满足某个终止条件。禁忌列表来存储最近若干次被访问的解，若禁忌列表中某个解被访问能对目标函数带来较大的提升，该解可被解禁，即从禁忌列表中移除。通过禁忌列表和解禁的操作，跳出局部最优。
这里，有两个参数需要设置：$u_t$--禁忌列表的长度，$z_t$--最大迭代次数。这两个参数影响最终返回的局部最优解的质量。
3.3.3 Filter-and-Fan Search
禁忌搜索可看成单点搜索策略，每次迭代从一个解出发，在其邻域中选择下一个要访问的解。Filter-and-Fan Search可看作多点搜索策略，构造了广度优先的邻域树，每次迭代从树的一层（多个解）向下进行搜索。这里用两个参数来控制邻域树的大小，每层节点（解）个数$n_1$和树的深度L。
Filter-and-Fan搜索考虑更大的邻域，$ϕ_s$={$ϕ_{y1},ϕ_{y2},ϕ_{y3}$},给定当前解s，在邻域$ϕ_s$中寻找收益最高的$n_1$个点。给定根节点$s_0$，在邻域$ϕ_s$中寻找收益最高的$n_1$个点作为第一层的节点；对第l层的某个节点，选择其邻域中收益最高的$n_1$个点，则第i层$n_1$个点，共产生$n_1^2$个候选点。这个过程就像扇子一样，称为fan process。从这$n_1^2$个候选点中，再选择收益最高的$n_1$个点作为第l+1层的节点，这个过程称为filter process。fan process产生邻域树逐层生长的候选点，filter process控制树的每层节点个数。
Filter-and-Fan搜索整体看，类似于多线程的禁忌搜索。同时，借助于树结构记录了搜索过程中访问的每个点，为评估解的收益时只考虑受影响的路径提供了方便。这也是Filter-and-Fan搜索计算时间短的主要原因。
3.4下层搜索策略：距离最小化
针对禁忌搜索或Filter-and-Fan Search产生的解，下层搜索策略以最小化车辆行驶（路径）总里程为目标，采用有序搜索方式进行改进。下层搜索策略考虑交换边的邻域结构：2-Opt、1–1 Exchange、1–0 Relocate，将这三种邻域结构依次标号为1、2、3。首先尝试标号1的邻域结构，如果找到更优解（距离更短），从更优解继续迭代；否则，依次尝试标号高的邻域2、3，若在标号最大的邻域，都没有找到更优的解，搜索终止。
其中，2-Opt：交换同一条路径上的两条边；1–1 Exchange：交换不同路径上的两条边；1–0 Relocate：去掉一条路径上的边，插入到另一条路径上。
4.计算实验
4.2 参数设置和实证分析
采用130个前人论文中使用的CTOP实例，进行实验，从解的质量（相对当前已知最优解的偏离百分比）、求解时间两个方面分析算法参数的影响。其中，相对当前已知最优解的偏离百分比=（当前已知最优解对应收益-算法求出解对应收益）/当前已知最优解对应收益*100%。
4.2.1 禁忌搜索效果分析
考虑禁忌列表长度$u_t$、最大迭代次数$z_t$对求解的影响。这里，在整体搜索框架Algorithm1中不使用Filter-and-Fan Search，只考虑禁忌搜索。
单独使用禁忌搜索在将近10s时间内可以改进当前已知最优解0.01%（$u_t$ = 30 and $z_t$ = 6000）。
4.2.2 Filter-and-Fan Search效果分析
单独使用Filter-and-Fan Search，讨论参数邻域树每层节点个数$n_1$和树的深度L对求解的影响。
当每层节点个数=200，树的深度=125时，可以改进当前已知最优解0.01%。考虑到计算时间，每层节点个数=100、树的深度=100看起来是不错的选择。
4.2.3 组合效果分析
结合使用禁忌搜索和Filter-and-Fan Search，正如Algorithm1中所示Bi-level Filter-and-Fan method，固定参数$n_1$=100、L=100，考虑禁忌搜索参数$u_t$、$z_t$的组合影响。
Bi-level Filter-and-Fan method平均在6.83s内可改进当前已知最优解0.012%，且迭代次数少于1000次（$u_t$ = 30, $z_t$ = 750, $n_1$ = 100，L = 100）。而单独使用禁忌搜索改进当前最优解0.01%需要迭代6000次，时间将近10s（$u_t$ = 30 and $z_t$ = 6000）。
4.2.4 双层搜索机制的效果分析
single-level指的是在禁忌搜索和Filter-and-Fan Search中不使用变邻域下降算法VND。
在求解时间、解的质量方面，双层搜索机制都要优于单层搜索机制。
4.3 CTOP测试用例上求解结果对比
BiF&F-s、BiF&F-f表示双层搜索机制的两种不同参数配置：s-slow($z_t$ = 10,000, $u_t$ = 30, $n_1$ = 100 and L = 100)，f-fast($z_t$ = 750, $u_t$ = 30, $n_1$ = 100, L = 100)。BiF&F-b代表BiF&F使用各种参数配置得得到的最佳解，b-best。
采用BiF&F-s、BiF&F-f和前人论文Archetti et al. (2009)中提出的启发式算法VNS、TSf在130个测试用例上进行对比。部分结果如下
注：BK-已知最优解（best known results）；p-总收益（total profit）, t-计算时间（computational time），%D-相对已知最优解BK的偏离百分比。
BiF&F-f、BiF&F-s在130个CTOP测试用例上表现出色：BiF&F-f可以在6.83s（平均）内对已知最优解BK的改进为0.012%，获得12个新的最优解；BiF&F-s可在14.36s内对已知最优解改进为0.04%，获得18个新的最优解。
4.4 大规模CTOP实例上表现
BiF&F-f在大规模CTOP实例上得到的解与最佳解的平均偏离为0.18%，最大偏离低于2.52%，平均计算时间为1365s。BiF&F-s与最佳解的平均偏离为0.01%，最大偏离不超过0.53%，平均计算时间为4,657.76s。部分结果如下
