Atcoder Beginner Contest 179 题解&&花絮

酣畅淋漓的一波$AK$……

累死我了，第二天$7:00$才醒。

Solution

A

直接模拟即可。

B

使用一个计数器$cnt$，如果当前的$a_i=b_i$，那么$cnt$的值加一；否则归$0$。若某个时刻$cnt$的值不小于$3$，说明满足要求，否则不满足要求。

C

考虑如果我们已经得到了$C$，那么满足要求的$(A,B)$对数就是$N-C$的约数个数。

所以，我们预处理出每个数的约数个数。即，我们枚举$i(1\le i\le n)$，对于所有是$i$倍数的数均加$1$，从而在$O(n\ln n)$的代价下求出了每个数的约数个数。

然后，枚举$C$并累加满足要求的$(A,B)$对即可。

时间复杂度$O(n\ln n)$。

D

怎么有人跟我说是矩阵优化$dp$呢

首先，如果每个区间的长度均为$1$，我们该如何做呢？

这是一个显然的$dp$，时间复杂度$O(nk)$。

但是，每个区间的长度不一定是$1$，如果我们把这些可能很长的区间拆成一个一个长度为$1$的小块的话，时间复杂度原地爆炸成$O(n^2)$。

观察$dp$转移式，可以发现，在区间修改后我们的$dp$式子在转移时需要区间求和。即，假设对于一个给定的区间$[l,r]$，目前走到了$i(i>l)$，那么它可以从区间$[max(i-r,1),i-l]$转移过来，显然这是一个区间求和。

所以我们想到了用前缀和优化。一边转移，一边维护前缀和，即可将时间复杂度优化到$O(nk)$。

E

太套路了吧

通过观察，不难发现，这个序列是有周期的(纯循环或混循环)，且周期的长度不会超过$m$，周期之前的长度也不会超过$m$。

所以，我们开桶，记录下这个值上一次出现在哪个位置。比如，对于$n=10^{10},x=2,m=7$的情况，序列是$2,4,2,4\dots \dots$如果我们扫描到$2$的时候，查桶时会发现$2$已经出现过，此时循环节为$24$。

有了循环节之后就很好做啦。

时间复杂度$O(m)$。

F

怎么又考毒瘤的线段树啊

考虑维护两个序列$A,B$:

①每一行的白格子最早出现在哪个位置。
②每一列的白格子最早出现在哪个位置。

考虑修改的时候，我们需要改变哪些值。

①修改了列($1$操作): 设$now$为$B_k$。把序列$A$中$1$至$now-1$的数对$k$取$min$，然后$B_k=1$;

②修改了行($2$操作): 设$now$为$A_k$。把序列$B$中$1$至$now-1$的数对$k$取$min$，然后$A_k=1$。

现在，我们把这题转换为了两种操作：

①区间对一个值取$min$；
②单点查询。

显然，可以用两棵可爱的线段树维护。

但是，这里线段树维护的是区间的标记，并没有维护别的东西。即，假设我们要对$[3,7]$这个区间对$4$取$min$，且$[3,7]$分成了$[3,4],[5,6],[7]$这三个区间，那么这三个区间的标记全部对$4$取$min$(初始时所有标记均为无穷大)。

那么单点查询呢？假设我们要查询某个序列第$k$个位置的值。我们可以用根节点往下走，拐来拐去，记录下所经过的节点的$tag$的最小值$minv$，并实时$pushdown$。那么，最终查询的值就是$min(minv,a_k)$。

所以，我们在$O(n\log n)$的时间复杂度内维护了这两个数组。

---

就在此时，你可能会发现，样例$3$过不去了。

但是我们维护得都是对的呀?

答案是啥呢？

貌似这两个数组并不能得到最终的答案……

好吧，这题我也不会做

首先，我们回来想一想，我们认为

$$\sum _{i=1}^{n}max(a_i-2,0)+\sum _{i=1}^{n}max(b_i-2,0)$$

就是答案。

但是，可以发现，如果一个黑格子的左边以及上面都没有白格子，那么它就会被算两遍。

我们现在要减去这个被重复算的值。如何计算呢？假设所有行修改的$x$的最小值为$hm$，所有列修改的$x$的最小值$lm$，那么这个值就是$max(hm-2,0)\times max(lm-2,0)$。

显然，$hm,lm$容易求出，最终减去这个值即可。

最后，注意:

①如果$now=1$，放弃修改，否则会出现死循环；
②最大值代表的$inf$开大；
③线段树开$8$倍；
④别忘了答案的表达式中对$0$取$max$的那些部分。

总时间复杂度为$O(n\log n)$。

---

花絮

不知道自己在干什么，这题赛事竟然刚了$70min$才在距离比赛$18min$的时候刚出来。

线段树怎么还是不熟啊

$AK$之后貌似敲了一个巨佬的桌子，这里对他说对不起，影响了大家的做题体验。

另外，以后敢说几十个秋葵的人，我就把你变成秋葵。

Code

A

#include 
#define int long long
using namespace std;
 
string s;
 
signed main()
{
     
	cin>>s;
	int n=s.size()-1;
	if (s[n]=='s')  cout<<s<<"es"<<endl;
	else cout<<s<<"s"<<endl;
	
	return 0;
}

B

#include 
#define int long long
using namespace std;
 
int n,len=0;
int a[1000005],b[1000005],c[1000005];
 
signed main()
{
     
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)  cin>>a[i]>>b[i];
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
     
		if (a[i]==b[i])
		{
     
			len++;
			if (len>=3)  return cout<<"Yes"<<endl,0;
		}
		else len=0;
	}
	cout<<"No"<<endl; 
	return 0;
}

C

#include 
#define int long long
using namespace std;
 
int n;
int cnt[1000005];
 
signed main()
{
     
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
     
		for (int j=i;j<=n;j+=i)  cnt[j]++;
	}
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)  ans+=cnt[n-i];
	cout<<ans<<endl;
	
	return 0;
}

D

#include 
#define int long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
 
int n,k;
int l[1005],r[1005],dp[1000005],pre[2000005];
 
inline int query(int ll,int rr)
{
     
	return ((pre[rr]-pre[ll-1])%mod+mod)%mod;
}
 
signed main()
{
     
	cin>>n>>k;
	for (int i=1;i<=k;i++)  cin>>l[i]>>r[i];
	
	dp[1]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
     
		for (int j=1;j<=k;j++)
		{
     
			if (l[j]>=i)  continue;
			int nowr=min(r[j],i-1ll);
			dp[i]=(dp[i]+max(query(i-nowr,i-l[j]),0ll))%mod;
		}
		pre[i]=(pre[i-1]+dp[i])%mod;
	}
	cout<<dp[n]%mod<<endl;
	
	return 0;
}

E

#include 
#define int long long
using namespace std;
 
int n,x,m,l,r;
int a[1000005],pre[1000005];
 
map<int,int> ma;
 
signed main()
{
     
	cin>>n>>x>>m;
	a[1]=x;
	pre[1]=x;
	ma[x]=1;
	for (int i=2;i<=10*m;i++)
	{
     
		a[i]=(a[i-1]*a[i-1])%m;
		if (ma[a[i]])
		{
     
			l=ma[a[i]];
			r=i-1;
			break;
		}
		ma[a[i]]=i;
		pre[i]=pre[i-1]+a[i];
	}
	int ans=0,tim,lef,tot=0,tot2=0;
	ans=pre[l-1];
	tim=(n-(l-1))/(r-l+1);
	lef=n-(l-1)-tim*(r-l+1);
	
	for (int i=l;i<=l+lef-1;i++)  tot+=a[i];
	for (int i=l;i<=r;i++)  tot2+=a[i];
	cout<<ans+tot2*tim+tot<<endl;
	
	return 0;
}

F

#include 
#define int long long
#define inf 200000000000000007
using namespace std;

int n,q,opt,k,ans=0,mina,minb;
int a[2000005],b[2000005];

struct segmentree_a
{
     
	int num;
	int tag;
}treea[2000005];

struct segmentree_b
{
     
	int num;
	int tag;
}treeb[2000005];

inline void f_a(int rt,int l,int r,int k)
{
     
	treea[rt].tag=min(treea[rt].tag,k);
}

inline void f_b(int rt,int l,int r,int k)
{
     
	treeb[rt].tag=min(treeb[rt].tag,k);
}

inline void pushdown_a(int rt,int l,int r)
{
     
	int mid=(l+r)>>1;
	f_a(2*rt,l,mid,treea[rt].tag);
	f_a(2*rt+1,mid+1,r,treea[rt].tag);
}

inline void pushdown_b(int rt,int l,int r)
{
     
	int mid=(l+r)>>1;
	f_b(2*rt,l,mid,treeb[rt].tag);
	f_b(2*rt+1,mid+1,r,treeb[rt].tag);
}

inline void change_a(int nl,int nr,int l,int r,int rt,int k)
{
     
	pushdown_a(rt,l,r);
	if (nl<=l&&r<=nr)
	{
     
		treea[rt].tag=min(treea[rt].tag,k);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (nl<=mid)  change_a(nl,nr,l,mid,2*rt,k);
	if (nr>mid)  change_a(nl,nr,mid+1,r,2*rt+1,k);
}

inline void change_b(int nl,int nr,int l,int r,int rt,int k)
{
     
	pushdown_b(rt,l,r);
	if (nl<=l&&r<=nr)
	{
     
		treeb[rt].tag=min(treeb[rt].tag,k);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (nl<=mid)  change_b(nl,nr,l,mid,2*rt,k);
	if (nr>mid)  change_b(nl,nr,mid+1,r,2*rt+1,k);
}

inline int query_a(int nl,int l,int r,int rt)
{
     
	pushdown_a(rt,l,r);
	
	int mid=(l+r)>>1,ans;
	if (l==r&&l==nl)  return min(a[l],treea[rt].tag);
	if (nl<=mid)  ans=query_a(nl,l,mid,2*rt);
	else ans=query_a(nl,mid+1,r,2*rt+1);
	return ans;
}

inline int query_b(int nl,int l,int r,int rt)
{
     
	pushdown_b(rt,l,r);
	
	int mid=(l+r)>>1,ans;
	if (l==r&&l==nl)  return min(b[l],treeb[rt].tag);
	if (nl<=mid)  ans=query_b(nl,l,mid,2*rt);
	else ans=query_b(nl,mid+1,r,2*rt+1);
	return ans;
}

signed main()
{
     
	cin>>n>>q;
	mina=minb=n;
	for (int i=1;i<=n;i++)  a[i]=n;
	for (int i=1;i<=n;i++)  b[i]=n;
	a[n]=b[n]=1;
	
	for (int i=1;i<=8*n;i++)  treea[i].tag=treeb[i].tag=inf;
	while (q--)
	{
     
		cin>>opt>>k;
		if (opt==1)
		{
     
			mina=min(mina,k);
			int now=query_b(k,1,n,1);
			if (now>1)  change_a(1,now-1,1,n,1,k);
			b[k]=1;
		}
		else
		{
     
			minb=min(minb,k);
			int now=query_a(k,1,n,1);
			if (now>1)  change_b(1,now-1,1,n,1,k);
			a[k]=1;
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)  a[i]=query_a(i,1,n,1);
	for (int i=1;i<=n;i++)  b[i]=query_b(i,1,n,1);
	for (int i=2;i<=n-1;i++)
	{
     
		int cnt=max(a[i]-2ll,0ll);
		ans+=cnt;
	}
	for (int i=2;i<=n-1;i++)
	{
     
		int cnt=max(b[i]-2ll,0ll);
		ans+=cnt;
	}
	int another=1;
	another*=max(0ll,mina-2);
	another*=max(0ll,minb-2);
	cout<<ans-another<<endl;
	
	return 0;
}