九度 1536：树的最小高度

题目描述：

给定一棵无向树， 我们选择不同的节点作为根节点时，可以得到不同的高度（即树根节点到叶子节点距离的最大值）， 现在求这棵树可能的最低高度。

 

思路

1. 刚开始题目都没看懂. 树的高度, 指的是根节点到叶节点的最大值, 我们要做的是找到最大值中的最小值

2. 查了下资料, 发现这道题是裸求树的直径

3. 树的直径可以用动规求解, 但基本的求法是用两次 BFS(DFS)

4. BFS 的求解过程为, (1) 从任意节点 u 出发, 找到其能够达到的最远的节点 v (2) 再从 v 出发, 找到其能够达到的最远的节点 o (3) v,o 之间的距离就是树的直径 (4) 直径的一半就是所要求的高度

 

证明 4 的正确性

1. 假设 u 节点就在直径上. 假设 v 不在直径上, 那么必然有一点 v2 在直径上, 且 dis(u, v2) > dis(u,v), 这与 v 是 u 出发到达最远的点矛盾, 所以 v 在直径上(并且肯定在直径的一端)

2. 假设 u 不在直径上, 那么 v 一定在直径上, 否则必然存在一个节点 v2 在直径上, 且 dis(u, v2) > dis(u,v)....

3. 总之, v 一定在直径的一端, o 在另一端

 

 

4. 关键点那题与这道类似

代码

用 dfs 做的, bfs 记录深度不太方便 

#include <iostream>

#include <stdio.h>

#include <vector>

#include <memory.h>

#include <deque>

using namespace std;



vector<int> tree[1000010];

bool visited[1000010];



int depthIndex, maxDepth;

void dfs(int n, int depth) {

    if(depth > maxDepth) {

        depthIndex = n;

        maxDepth = depth;

    }



    for(int i = 0; i < tree[n].size(); i ++) {

        int j = tree[n][i];

        if(visited[j]) continue;

        visited[j] = true;

        dfs(j, depth+1);

    }

}

int main() {

    //freopen("testcase.txt", "r", stdin);

    int n;

    while(scanf("%d", &n) != EOF) {

        if(n == 1) {

            cout << 0 << endl;

            continue;

        }else if(n == 2) {

            cout << 1 << endl;

            int a,b;

            scanf("%d%d", &a, &b);

            continue;

        }



        int a, b;

        for(int i = 0; i < n; i++)

            tree[i].clear();



        for(int i = 0; i < n-1; i ++) {

            scanf("%d%d", &a, &b);

            tree[a].push_back(b);

            tree[b].push_back(a);

        }



        maxDepth = 0;

        depthIndex = 0;

        memset(visited, 0, n+10);

        visited[0] = 1;

        dfs(0,0);



        memset(visited, 0, n+10);

        maxDepth = 0;

        visited[depthIndex] = 0;

        dfs(depthIndex, 0);



        int resVal = maxDepth-((maxDepth)>>1);

        printf("%d\n", resVal);

    }

    return 0;

}