三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)的求法:Thomas Algorithm(TDMA)

做三次样条曲线时,需要解三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)。常用解法为Thomas Algorithm,又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。它是一种基于高斯消元法的算法, 分为两个阶段:向前消元forward elimination和回代backward substitution。本文以一个6乘6矩阵为例,介绍一下使用TDMA的求解过程。

1.范例求解

三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)的求法:Thomas Algorithm(TDMA)

步骤1: 将矩阵变为上三角矩阵

首先要把上面公式中的系数矩阵变为一个上三角矩阵。

第一行:

将上式除以b1:

可写作:

所以矩阵方程可写为:

三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)的求法:Thomas Algorithm(TDMA)

第二行:


将变换后的第一行乘以a2,再与第二行相减,即可消去x1,得:

所以新的矩阵方程为:

三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)的求法:Thomas Algorithm(TDMA)

同理可推,

第三行:

第四行:

第五行:

第六行:

最后得到新的上三角矩阵公式为:

三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)的求法:Thomas Algorithm(TDMA)

步骤2:求解

x逆序可以求出,如下:

2. 一般性公式:

三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)的求法:Thomas Algorithm(TDMA)

注意:

使用TDMA求解,系数矩阵需时diagonally dominant, 即:

3. 实现代码(C语言)

void tdma(float x[], const size_t N, const float a[], const float b[], float c[]) 

{

        size_t n;

 

        c[0] = c[0] / b[0];

        x[0] = x[0] / b[0];



        for (n = 1; n < N; n++) {

                float m = 1.0f / (b[n] - a[n] * c[n - 1]);

                c[n] = c[n] * m;

                x[n] = (x[n] - a[n] * x[n - 1]) * m;

        }

 

        for (n = N - 1; n-- > 0; )

                x[n] = x[n] - c[n] * x[n + 1];

}

 

 

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