0-1 背包问题在量子退火机上的简单实现
写在前面
平台、配置、接口都不是一成不变的，不要拘泥于某一版本或者某一 API，要是有更方便的呢？
本文主要来源自 D-Wave 官方文档，如有疏忽，请参考原文档。
（不要全文抄袭当作课程作业或者调研报告）
本文配置
- Windows 10
- Python==3.8.5
- dwave-ocean-sdk==3.1.1
如果使用 Leap 在线平台的求解器，一定要配置（首先你得注册了 leap），指令 dwave setup。你会看到
$ dwave setup
Optionally install non-open-source packages and configure your environment.
Do you want to select non-open-source packages to install (y/n)? [y]:
D-Wave Drivers
These drivers enable some automated performance-tuning features.
This package is available under the 'D-Wave EULA' license.
The terms of the license are available online: https://docs.ocean.dwavesys.com/eula
Install (y/n)? [y]:
Installing: D-Wave Drivers
Successfully installed D-Wave Drivers.
D-Wave Problem Inspector
This tool visualizes problems submitted to the quantum computer and the results returned.
This package is available under the 'D-Wave EULA' license.
The terms of the license are available online: https://docs.ocean.dwavesys.com/eula
Install (y/n)? [y]:
Installing: D-Wave Problem Inspector
Successfully installed D-Wave Problem Inspector.
Creating the D-Wave configuration file.
Configuration file not found; the default location is: /home/someone/.config/dwave/dwave.conf
Confirm configuration file path [/home/someone/.config/dwave/dwave.conf]:
Profile (create new) [prod]:
API endpoint URL [skip]:
Authentication token [skip]: ABC-1234567890abcdef1234567890abcdef
Default client class (qpu or sw) [qpu]:
Default solver [skip]:
Configuration saved.跟着指示，选择是否同意，输入sapi，api token，就安装成功了。sapi 一般是 https://cloud.dwavesys.com/sapi/ ，token 在 Leap 页面就能找到。
基本概念
背包问题
假如我有一个背包，它的容量有限，只能装下总质量 $W$ 的物品。现在我有一些物品 $\{x_i, i = 1\dots N\}$，对于每个物品 $x_i$ 都有质量 $w_i$ 以及价值 $c_i$。问怎样找到这样一组物品，使得它们可以被装入背包，同时总价值最大。
为了方便起见，我们设 $x_i \in \{0, 1\}, i = 1\dots N\}$ 变量。问题用数学建模表示为：
$$ Max~~~Cost(X) = \sum^{N}_{i = 1} c_i x_i \\ s.t. ~~~~~ Weight(X) = \sum^{N}_{i=1} w_i x_i \leq W $$
其中，$Max~~~Cost(x)$ 表示要最大化 价值$Cost(x)$，$s.t. ~~~ Weight(X) \leq W$ 表示这个问题约束于质量限制。
为什么以0-1背包问题为例呢？因为“一切有界整型线性规划问题，都可以转化成等价的背包问题” （Transformation of integer programs to knapsack problems, Bradley, 197190005-7)）
问题模型
因为 D-Wave 做的是退火机，建模用的是 BQM，所以我们的问题必须建模成 Binary Quadratic Models (BQM)。从名字就可以得知，BQM 是：
- 布尔值变量（或者值域类似于{0, 1}只能取两个值的变量）
- 目标函数是 quadratic 的，也就是支持 $x^2, x_i x_j, x$
实际上还有个隐藏的条件是：
- 无约束
D-Wave 的库实际上还可以使用 Ising 模型和 QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimization），都可以转化为 BQM，区别是表达方式。
$$ BQM: E(v) = \sum_{i=1}a_iv_i+\sum_{i 为了在 Leap 上求解我们的问题，我们还需要对不等式约束改写成等式、把整型变量改成布尔值变量。可是哪里来的整型变量？我们一直在用 $0/1$ 变量啊？ 不等式约束改写很简单，对于约束 $W(X) \leq W$ 我们只需要使用一个变量 $0 \leq y \leq W$。这里上界自然是容纳的最大质量，注意下界并不是随便的一个$0$，在狭义的背包问题上，下界当然是什么都不装，自然是$0$，而前面提到背包问题可以表示任何边界整型线性规划问题，下界自然也需要相应地考虑如何计算。 于是这就有了整型变量$y$，最简单的二进制编码方法是 one-hot 的： $y_0, y_1, \dots y_W$，当 $y_k = 1$ 而 $y_{\neq k} = 0$ 指示 $y = k$。哈密顿算符（Hamiltonian）之于退火机，如同损失函数之于机器学习。这里列出到目前为止，0-1背包问题的 Hamiltonian： $$ H = H_A + H_B \\ H_A = A(1 - \sum^{W}_{k=1} y_k)^2 + A(\sum^{W}_{k=1} k y_k - \sum_{i} w_ix_i)^2 \\ H_B = -B\sum_{i} c_ix_i $$ 其中，$H_A$ 扮演了约束的角色。因为退火机寻找最低能量态，所以 $H$ 越小说明优化得越好。$H_A$ 的前一项指示 one-hot 约束，因为总质量每次只可能是一个值。第二项指示了总质量应该等于所有物品质量之和。最优时，$H_A = 0$， 约束被满足。同理 $H_B$ 是总价值的负数，因为我们希望它越大越好。对于常量参数 $A$ 与 $B$ 的选择，应该满足：$0 < B~max(c_i) < A$ （Lucas建议）。 显然 one-hot 编码在这个通用量子计算机还没有的世代是不现实的，因为它一共使用了 $N + W$ 个量子位，当 $W$ 非常大的时候是对 Qbit 的浪费。可以用自然的二进制编码，只需要将 $k y_k$ 改写成 $2^k y_k$，同时去掉 $y_i$ 只可以有一个取 $y_i = 1$ 的约束.我们记 $M = ⌊logW⌋$，用于约束的变量便成了 $\{y_i, i = 0\dots M-1\}$。对于一般的 $2^M \leq W \leq 2^{M+1}$，需要多一位$y_{M} = W - (2^M - 1)$。我们记 $y_i$ 对应的值 $$ k_i = 2^i,~i \in [0, M-1] \\ k_{M} = W - (2^M - 1) \\ $$ 最终： $$ H_A = A(\sum_{i} k_i y_i - \sum_{i} w_ix_i)^2 \\ H_B = -B\sum_{i} c_ix_i $$ 设 $A = max(c_i), B=1$ 展开： $$ H = A \ H'\\ H' = \sum_{i=1}^{N} (w_i^2 - c_i) x_i + 2\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=i+1}^{N} w_i w_j x_i x_j \\ - 2\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=0}^{M}w_i k_j x_i y_j \\ + \sum_{j=0}^{M}k_i^2 y_i + 2 \sum_{i=0}^{M}\sum_{j=i+1}^{M} k_i k_j y_i y_j $$ 很容易得知 $x^2 = x, y^2 = y$，上式已作替换。 得到的结果： 量子信息学请参考 John Preskill CS219，基础概念可以读一下第一章讲义。 问题建模请参考神文 Ising formulations of many NP problems, Andrew Lucas, 2014转化
实现
# passed on 2020.12.11
from dwave.system import LeapHybridSampler
from math import log2, floor
import dimod
# 0-1 背包问题原型
W = 70
N = 7
c = [35, 85, 30, 50, 70, 80, 55]
w = [12, 27, 11, 17, 20, 10, 15]
# 其他变量
A = max(c)
M = floor(log2(W))
k = [2**i for i in range(M)] + [W + 1 - 2**M]
# BQM
bqm = dimod.AdjVectorBQM(dimod.Vartype.BINARY)
# x 项
for i in range(N):
bqm.set_linear('x' + str(i), A * (w[i]**2) - c[i])
# x-x 项
for i in range(N):
for j in range(i + 1, N):
key = ('x' + str(i), 'x' + str(j))
bqm.quadratic[key] = 2 * A * w[i] * w[j]
# x-y 项
for i in range(N):
for j in range(M + 1):
key = ('x' + str(i), 'y' + str(j))
bqm.quadratic[key] = -2 * A * w[i] * k[j]
# y 项
for i in range(M + 1):
bqm.set_linear('y' + str(i), A * (k[i]**2))
# y-y 项
for i in range(M + 1):
for j in range(i + 1, M + 1):
key = ('y' + str(i), 'y' + str(j))
bqm.quadratic[key] = 2 * A * k[i] * k[j]
# 求解
sampler = LeapHybridSampler()
sampleset = sampler.sample(bqm)
sample = sampleset.first.sample
energy = sampleset.first.energy
# 哪些物品被选中了
selected = []
for varname, value in sample.items():
if value and varname.startswith('x'): # x*
selected.append(int(varname[1:]))
selected = sorted(selected)
weight_sum = 0
cost_sum = 0
for i in selected:
weight_sum += w[i]
cost_sum += c[i]
print('能量：', energy)
print('被选中的物品：', selected)
print('总质量：', weight_sum)
print('总价值：', cost_sum)能量： -270.0
被选中的物品： [0, 2, 4, 5, 6]
总质量： 68
总价值： 270参考