近世代数--整环上的唯一分解问题--唯一分解整环中元素的标准分解式

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

定义UFD时元素的分解式

这里是唯一分解整环的基本概念。

$D$为整环，$U$是单位群，$a\in D,a\ne 0,a\notin U,$

• 元素有唯一分解：

  • $a$可分解为有限多个不可约元的乘积：$a=p_1{p}_2\dots p_s$

  • 上述分解在相伴的意义下是唯一的，即如果$a$有两种不可约分解，

    $a=p_1{p}_2\dots p_s=q_1{q}_2\dots q_t$，则
    $s=t,$交换因子次序会有$p_i\sim q_i,i=1,2,\dots s$

  则称$a$有唯一分解。

此处的分解在相伴意义下唯一，是指两个分解在相伴意义下等价，即交换次序有$p_i\sim q_i,i=1,2,\dots s$，没有说明$p_i\sim p_j$是否一定不存在，即没有说明$p_i$与$p_j$是否相伴。

我们其实可以知道，在这种定义下:"$a=p_1{p}_2\dots p_s,$"，$p_i\sim p_j$是可能存在的。

UFD中元素的标准分解式

现在定义$a$的标准分解式：

• $D$为UFD，$a\in D,a\ne 0,a\notin U,a$有唯一分解。
• 设$a$的所有互不相伴的不可约因子为：$p_1{,}_2,\dots p_s$，则$a$的任一不可约因子$p$，有$p\sim p_i$
• $a$的标准分解式为$a=u{p}_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\dots p_s^{r_s},u\in U,u\in D,r_1\dots r_s\in N$