剪绳子

1. 无大数情况下

题目描述：
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof

1.1 dfs + 回溯

思路分析：在无大数情况下，可以考虑采用dfs，但要注意合理剪枝，否则代码还是运行不通过。

代码：

class Solution {
     
public:
    int sum = 0;
    int mul = 1;
    int maxVal = 0;
    int t;
    int cuttingRope(int n) {
     
        t = n;
        _cuttingRope(1);
        return maxVal;
    }
private:
    void _cuttingRope(int pos)
    {
     
        if(sum == t)
        {
     
            maxVal = max(maxVal, mul);
            return;
        }
        for(int i = pos; i < t; ++i)
        {
     
            if(sum + i > t)//在这里就开始剪枝，超过了直接返回
                return;
            sum += i;
            mul *= i;
            _cuttingRope(i);
            sum -= i;
            mul /= i;
        }
    }
};

2. 有大数情况下

此时使用dfs是行不通的。

在这里可以学习一下Krahets的解析。

2.1 循环取余法

代码：

class Solution {
     
public:
    int cuttingRope(int n) {
     
        if(n < 4)
            return n - 1;
        long long ret = 1;
        while(n > 4)
        {
     
            ret = (ret * 3) % 1000000007;
            n -= 3;
        }
        //n 可能是 4 ， 3 ， 2
        //4 可以不用剪了 3 * 3 * 1 一定小于 3 * （1 + 3）
        //2 是在n - 3 = 2 时，需要考虑最后一段绳子的情况
        return ret * n % 1000000007;
    }
};

2.2 快速幂

代码：

class Solution {
     
public:
    int cuttingRope(int n) {
     
        if(n < 4)
            return n - 1;
        //除3是因为，3的绳子长度最后的幂一定是最长的，优先级最高
        int divisor = n / 3 - 1;//减1是因为需要考虑，最后一段绳子为4 2 的情况，后续需要特别考虑
        int mod = n % 3;//余数 0 1 2
        long long mul = 3;//快速幂时的初始底数
        long long ret = 1;//返回值
        while(divisor > 0)
        {
     
        	//比如：0011 & 1 此时为1了，则可以将该数进行相乘了
        	//比如：0010 & 1 此时就就不能进行相乘
            if(divisor & 1)
                ret = (ret * mul) % 1000000007;
            //该数继续向后走
            mul = (mul * mul) % 1000000007;
            //右移一位
            divisor >>= 1;
        }
        if(mod == 0)//最后一段绳子为3
           return ret * 3 % 1000000007;
        if(mod == 1)//最后一段绳子为4
           return ret * 4 % 1000000007;
        return ret * 6 % 1000000007;//最后一段绳子为5，则为3 * 2
    }
};