离散傅里叶变换的推导

注：作者最近在看关于傅里叶级数与傅里叶变换的一些内容，网上给出的离散傅里叶变换推导大都是以信号与系统等课程中的物理表示方法表示的，作者觉得不爽所以自己用数学方法推导了一次。期间关于离散的部分几乎都是作者自己在摸索，作者才疏学浅，中间如果有疏漏请多多包涵并在评价中提出，作者感激不尽（虽然大概没什么人看吧）

对于满足狄利克雷条件的周期函数，我们都可以通过傅里叶展开变换成收敛的傅里叶级数，公式如下：

f(t)=∑k=−∞∞akeik(2πT)t

其中

ak=1T∫Tf(t)e−ik(2πT)tdt

如果 f(t) 不是连续函数，而是一个离散的数列，我们可以记 at=f(t),n=0,±1,±2,...

那么，假使这个数列存在周期 T∈N+ ，即 at+T=at ，那么这个数列可以表示为一系列频率为 0,2π/T,2∗2π/T,...,(T−1)∗2π/T 的三角函数的特定点的数列相加组成，记 ω=2π/T ，我们可以写出这样的式子

at=∑n=0T−1bneinωt+cne−inωt

但是由于 einω(T−t)=e2πni−inωt=e−inωt

故 e−inωt 项可以归入 einωt 项中，写作

at=∑n=0T−1(bn+cT−n)einωt

，其中 c0=cT

将系数 bn+cT−n 记作 bn ，我们得到

at=∑n=0T−1bneinωt

利用周期函数傅里叶级数的系数求法和等比数列求和，我们能得到 ∑T−1t=0ei(m+n)ωt=T(m+n=0),0m+n≠0

这样，我们可以得到

bn=1T∑t=0T−1ate−inωt

那么

at=1T∑n=0T−1∑t=0T−1(ate−inωt)einωt

这就是周期数列的傅里叶级数，如果将数列长度限制到 T ，那么这就是有限长度序列的离散傅里叶变换

矩阵表示

我们记

WT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢111⋮11ωω2⋮ωT−11ω2ω4⋮ω2(T−1)⋯⋯⋯⋱⋯1ωT−1ω2(T−1)⋮ω(T−1)(T−1)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

其中， ω=e−2πi/T 是T次单位根

那么以上傅里叶变换公式可以记为

b=WTa

[下接FFT的算法分析]