傅里叶变换详细推导

       实验最近遇到了困难,决定暂时转移一下视线,看看以前没怎么弄明白的傅里叶变换。十分感谢B站UP主DR_CAN关于傅里叶变换讲解的系列视频,让我很快明白了傅里叶变换的过程。傅里叶变换过程其实并不复杂,只要自己认真地推导一遍,就会感叹道:噢,原来这么简单啊!

       对于视频最后介绍的傅里叶变换过程中将累加过程变换成积分,自己没怎么看懂。就琢磨出从积分的定义来理解的方法,表示理解起来就没那么困难了。(不知道对不对,欢迎大家指正)。好了,接下来让我们一起从头到尾推导一篇,感受一下数学的魅力吧!(虽然关于傅里叶变换过程的推导已经有很多资料介绍了,但博客还是要写的,万一有人看嘞)

 

1、三角函数线性组合

周期为的函数可以表示为三角函数的线性组合:

傅里叶变换详细推导_第1张图片

因此,对于给定周期为的函数f(x),求解出系数即可用三角函数线性组合表示该函数

 

2、三角函数系的正交性

三角函数系:

在三角函数系里任取两个函数,满足一下形式:

 

3、系数求解

为了求解,对等式1的左右两侧在区间积分,

                               

求解,等式1的左右两侧同时乘以,在区间积分,

傅里叶变换详细推导_第2张图片

                           

求解,等式1的左右两侧同时乘以,在区间积分,

                       

 

于是,周期为的函数可表示为:

傅里叶变换详细推导_第3张图片

 

4、周期非的周期函数的傅里叶级数

是周期为2L的函数,即,我们通过函数的伸缩变换,构造出周期为的函数,令

则,

 

所以,任意周期为T的函数可表示为:

傅里叶变换详细推导_第4张图片

 

5、使用复变函数表示周期为T的函数

欧拉公式:

则,

傅里叶变换详细推导_第5张图片

 

 

傅里叶变换详细推导_第6张图片

 

6、傅里叶变换

对于非周期函数,我们可以认为它是周期 的函数,因此,

傅里叶变换详细推导_第7张图片

设函数,需要求,按照积分的定义,首先将定义域无限等分,使得等分间隔是,则所求定积分表示为:

傅里叶变换详细推导_第8张图片

傅里叶变换公式为:

傅里叶逆变换公式为

 

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