数据结构第10章 排序

插入排序

每次将一个待排序的记录,按其关键字大小插入到前面已经排好序的子表中的适当位置,直到全部记录插入完成为止。

直接插入排序

整个排序过程为n-1趟插入，即先将序列中第1个记录看成是一个有序子序列，然后从第2个记录开始，逐个进行插入，直至整个序列有序。

void InsertSort(SqList ＆L)
 {
          
    int i,j;
    for(i=2;i<=L.length; i++)
    {
        //将L.R[i]插入有序子表
        if( L.R[i].key<L.R[i-1].key)
        {
          
        L.R[0]=L.R[i]; // 复制为哨兵
        j = i-1;
        do{
         
            L.R[j+1]=L.R[j]; // 记录后移 
            j--;
        }while(L.R[0].key>=L.R[j].key))
        L.R[j+1]=L.R[0]; //插入到正确位置
        }
    }
}

时空复杂度和分析

最好的情况（关键字在记录序列中正序）：
“比较”的次数：${\sum }_{i=1}^{n-1}1=n-1$
“移动”的次数：0
最坏的情况（关键字在记录序列中逆序有序）：
“比较”的次数：${\sum }_{i=1}^{n-1}i=n(n-1)/2$
“移动”的次数：${\sum }_{i=1}^{n-1}(i+2)=(n+4)(n-1)/2$

1. 改进：在插入第 i（i＞1）个记录时，前面的 i-1 个记录已经排好序，则在寻找插入位置时，可以用二分查找来代替顺序查找，从而减少比较次数。这就是折半插入排序。
2. 直接插入排序在基本有序时，效率较高
3. 在待排序的记录个数较少时，效率较高

希尔(Shell)排序

先将整个待排记录序列分割成若干子序列，各个子序列分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录“基本有序”时，再对全体记录进行一次直接插入排序。

将相距d个位置的记录分为一组， n 个记录被分成 d 个子序列，d 称为增量，增量d的值在排序过程中从大到小逐渐缩小，直至最后一趟排序减为 1。所以希尔排序也称为缩小增量排序。

时空复杂度和分析

时间复杂度平均情况：$O(n^{1.3})$

如何选择最佳d序列，目前尚未解决；但最后一个增量值必须为1
不宜在链式存储结构上实现

交换排序

冒泡排序

void Bubble-sort(SqList &L)
{
          
    int i, j, swap;    // 当swap为0则停止排序
    for  ( i=1; i<L.length; i++)   //  i 表示趟数，最多n-1趟 
    {
         
        swap=0;                // 开始时元素未交换
        for ( j=1; j<=L.length-i; j++)  
        if (L.R[j].key>L.R[j+1].key)   // 发生逆序
        {
          L.R[0]=L.R[j];  L.R[j]=L.R[j+1];   L.R[j+1]=L.R[0];
                swap=1;     
        } // 交换，并标记发生了交换
    if(swap==0)   break;   
    }
}

时空复杂度和分析

最好的情况（关键字在记录序列中正序）：
“比较”的次数：${\sum }_{i=1}^{n-1}1=n-1$
“移动”的次数：0
最坏的情况（关键字在记录序列中逆序有序）：
“比较”的次数：${\sum }_{i=1}^{n-1}i=n(n-1)/2$
“移动”的次数：${\sum }_{i=1}^{n-2}3(n-i-1)=3n(n-1)/2$

改进：在冒泡排序中，记录的比较和移动是在相邻单元中进行的，记录每次交换只能上移或下移一个单元，因而总的比较次数和移动次数较多。

快速排序

1. 快速排序首先选一个基准值（即比较的基准），每趟使表的第1个元素放入适当位置（归位），将表一分为二，前一部分记录的关键码均小于或等于基准值，后一部分记录的关键码均大于或等于基准值对；
2. 子表按递归方式继续这种划分，直至划分的子表长为0或1（递归出口）。

void Quick_Sort(SqList &L,int s,int t)　 /*　对R[s]到R[t]的元素进行排序　*/
{
         if (s<t)     //至少有两个元素
	{
         int i=Partition(L,s,t);
           Quick_Sort(L,s,i-1);
	      Quick_Sort(L,i+1,t);	
     }
}
int Partition(SqList &L,int low,int high)
{
     	L.R[0]= L.R[low];　/* 暂存基准值元素到R[0]中*/
	while(low<high)  /* 从表的两端交替地向中间扫描 */
	{
         while( low<high&&L.R[high].key>=L.R[0].key )high--;
	      if(low<high)  {
     L.R[low]= L.R[high];　low++;　}
　　　while( low<high&&L.R[low].key<L.R[0].key )　low++;
	　  if (low<high) {
     L.R[high]= L.R[low]; high--; }
	}
	 L.R[low]= L.R[0];  /* 将基准值元素放到其最终位置 */
	return low; 　/* 返回基准值元素所在的位置*/
}

时空复杂度和分析

最好情况时间复杂度为$O(n{\log }_{2}n)$，空间复杂度为$O(lo{g}_{2}n)$。
最坏情况时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n)$。
平均时间复杂度为$O(n{\log }_{2}n)$。
稳定性：不稳定。

选择排序

简单选择排序（或称直接选择排序）

每一趟在后面 n-i+1个中选出关键码最小的对象, 作为有序序列的第 i 个记录。

时空复杂度和分析

最好情况时间复杂度为$O(n^2)$。
最坏情况时间复杂度为$O(n^2)$。
空间复杂度为$O(1)$。

树形选择排序（锦标赛排序）

简单选择排序慢的原因？
用直接选择排序从n个记录中选出关键字值最小的记录要做n-1次比较，然后从其余n-1个记录中选出最小者要作n-2次比较。显然，相邻两趟中某些比较是重复的。
树形选择排序：首先对n个关键字进行两两比较，然后在其⌈/2⌉个较小者之间再进行两两比较，如此重复，直至选出最小关键字为止。这个过程可用一棵有n个叶结点的完全二叉树表示。

堆排序（Heap Sort）

堆的概念

n个元素的序列 $\{k_1，k_2，\dots \dots ，k_n\}$，当且仅当满足下面条件(以大根堆为例)称之为堆。
$\{\begin{array}{l}{k}_i\ge k_{2i}\\ k_i\ge k_{2i+1}\end{array}$
$(i=1,2,\dots ,\lfloor n/2\rfloor )$
若将此关键字序列按顺序组成一棵完全二叉树，则堆可以如下定义：
或每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值（称为大根堆或大顶堆）。

堆排序流程：

1. 将无序序列建成一个堆；
2. 输出堆顶的最小（大）值；
3. 使剩余的n-1个元素又调整成一个堆，返回步骤2；

筛选或调整算法

对一棵左右子树均为堆的完全二叉树，“调整”根结点使整个二叉树也成为一个堆。

1. s指向当前根节点，将根节点存入暂存区tmp；
2. i指向s孩子中key较大的；
3. 若tmp.key>=i.key，s=tmp，退出；否则s=i，返回步骤2。

void HeapAdjust(SqList &L，int s，int m)
{
         //假设R[s+1..m]已经是堆，将R[s..m]调整为以R[s]为根的大根堆
     RecType tmp=L.R[s];
     for(int i=2*s ; i<=m ; i*=2)      //沿key较大的孩子结点向下筛选
     {
          if(i<m && L.R[i].key<L.R[i+1].key) i++; //i为key较大的记录的下标
           if( tmp.key>=L.R[i].key )       
                 break;//双亲大：不再调整，temp应插在位置s上
           L.R[s]=L.R[i];//将R[j]调整到双亲结点位置上
           s=i;       	//修改s值，以便继续向下筛选
      }
      L.R[s]=tmp;       //插入
}

无序序列建成一个初始堆

for (i=n/2;i>=1;i--)    
     HeapAdjust(L.R，i，n);

堆排序算法

void HeapSort(SqList &L)
{
          int i;  RecType tmp;
      for (i=n/2;i>=1;i--) 	//循环建立初始堆
             HeapAdjust(L.R，i，n); 
      for (i=n; i>=2; i--)	//进行n-1次循环，完成堆排序
      {
          temp=L.R[1];       	//堆顶归位，R[1]  R[i]
            L.R[1]=L.R[i]; 
            L.R[i]=tmp;
            HeapAdjust(L.R,1,i-1);//调整剩余记录，筛选R[1]结点，得到i-1个结点的堆
      }
}

时空复杂度和分析

设有n个记录的初始序列对应的完全二叉树的深度为$h=\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$，每个非终端结点都要自上而下进行“筛选”。由于第i层上的结点数小于等于$2^{i-1}$，且第i层结点最大下移的深度为h-i，每下移一层要做两次比较，所以建初堆时关键字总的比较次数为
${\sum }_{i=h-1}^1{2}^{i-1}\cdot 2(h-i)\le 4n$
调整“堆顶”要做n-1 次“筛选”，每次“筛选”都要将根结点下移到合适的位置，比较2(h-1)次。n 个关键字的完全二叉树的深度为$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$，则重建堆时关键字总的比较次数不超过：
$2({\log }_2(n-1)\rfloor +\lfloor {\log }_2(n-2)\rfloor +\dots +{\log }_{2}2)<2n({\log }_{2}n\rfloor )$
因此，堆排序的时间复杂度为$O(n{\log }_{2}n)$。
空间复杂度为$O(1)$。
稳定性：不稳定。

归并排序

2-路归并排序

1. 初始序列看成n个有序子序列，每个子序列长度为1，两两合并，得到 $\lfloor n/2\rfloor$ 个长度为2或1的有序子序列；
2. 再两两合并，重复直至得到一个长度为n的有序序列为止。

void Merge( SqList &L，int low，int mid，int high) 
{
          
    SqList  L1; L1.length = high-low+1;     
    int i=low， j=mid+1， k=0;//k是L1.R的下标，i、j分别为第1、2路的下标
    while ( i<=mid && j<=high ) 
         if (L.R[i].key<=L.R[j].key) //将关键字值小的记录放入L1中
                  {
         L1.R[k]=L.R[i];  i++;k++;     } 
         else   {
         L1.R[k]=L.R[j];  j++;k++;   } 　
    while (i<=mid)         //如果第1路还有剩余记录，将其余下部分复制到L1
    {
           L1.R[k]=L.R[i];  i++;k++;   }
    while (j<=high)        //如果第2路还有剩余记录，将其余下部分复制到L1
    {
           L1.R[k]=L.R[j];  j++;k++;  }
    for (k=0，i=low;i<=high; k++，i++) 
        L.R[i]=L1.R[k];//将归并后的记录复制回L中
} 

void MergePass(SqList &L，int m)
{
        for (int i=0;i+2*m<L.length;i=i+2*m) //归并长为m的两相邻子表               
        Merge(L，i，i+m-1，i+2*m-1);
    if (i+m-1<L.length) 	 //还剩下两个子表，第1段长度为m，第2段长度小于m
        Merge(L，i，i+m-1，L.length-1);  	//归并剩余的这两个子表
}

时空复杂度和分析

最好情况时间复杂度为$O(n{\log }_{2}n)$。
最坏情况时间复杂度为$O(n{\log }_{2}n)$。
空间复杂度为$O(n)$。
稳定性：稳定。

排序小结

为避免顺序存储时大量移动记录的时间开销，可考虑用链表作为存储结构：直接插入排序、归并排序、基数排序

不宜采用链表作为存储结构：折半插入排序、希尔排序、快速排序、堆排序

排序算法选择规则

1. n较大时
   （1）分布随机，稳定性不做要求，则采用快速排序
   （2）内存允许，要求排序稳定时，则采用归并排序
   （3）可能会出现正序或逆序，稳定性不做要求，则采用堆排序或归并排序
2. n较小时
   （1）基本有序，则采用直接插入排序
   （2）分布随机，则采用简单选择排序，若排序码不接近逆序，也可以采用直接插入排序