内部排序(六)：基数排序 Radix Sort

作为数据结构的课程笔记，以便查阅。如有出错的地方，还请多多指正！

注：C++忘得太厉害了。。算法先用C实现，等之后复习了再改成C++

多关键字排序 Multi-key Sort

• 基数排序是一种借助“多关键字排序”的思想来实现“单逻辑关键字排序”的内部排序算法

最高位优先法(MSD-Most Significant Digit first)

• 先对最高位关键字$k_1$排序，将序列分成若干子序列，每个子序列有相同的$k_1$值
• 然后分别就每个子序列对次关键字$k_2$排序，又分成若干更小的子序列
• 依次重复，直至对关键字$k_{d-1}$排序
• 分别就每个子序列对最低位关键字$k_d$排序
• 最后将所有子序列依次连接在一起成为一个有序序列

MSD——必须将序列逐层分割成若干子序列，再对各子序列分别排序

最低位优先法(LSD-Least Significant Digit first)

• 从最低位关键字$k_d$起进行排序，再对高一位关键字排序
• 依次重复，直至对最高位关键字$k_1$排序后，成为一个有序序列

LSD——不必逐层分割成子序列，并且可不通过关键字比较，而通过若干次分配与收集实现排序

链式基数排序 Linked Radix Sort

• 对于多关键字的记录序列，通常利用LSD法借助“分配-收集”进行排序

• 对于数字型或字符型的单逻辑关键字，可以看成是由多个数位或多个字符构成的多关键字(例如三位数的排序可以看作有3个关键字：百位、十位、个位)，也可以采用“分配-收集”的排序方法

• 链式基数排序：用静态链表作存储结构的基数排序

排序过程

思路

• 设置10个队列，f[i]和e[i]分别为第i个队列的头指针和尾指针
• 第一趟分配对最低位关键字（个位）进行，将链表中记录分配至10个链队列中，每个队列记录的关键字的个位相同
• 第一趟收集是改变非空队列的队尾记录指针域，令其指向下一个非空队列的队头记录，将10个队列连成一个链表
• 重复上述两步，进行第二趟、第三趟分配和收集，分别对十位、百位进行，最后得到一个有序序列

算法实现

• 将数据存储在如下的静态链表中，每个结点都有数据域和指针域next。next中存的是链表中下一个结点在数组中的索引。第0个结点为头结点，不存数据，它指示了第一个结点的位置。数据域为1个数组，在里面存各个关键字(十进制数的不同位)，默认0号关键字为最次要关键字(个位)

下图表示的链表即为1->2->3->4->5->6

#define MAX_SIZE 		100 //待排元素个数的最大值
#define MAX_KEY_NUM		8 //最多的关键字个数 这里默认最大为8位数

//静态链表结点
typedef struct {
     
	int keys[MAX_KEY_NUM];
	int next;
}SLCell_t;

//静态链表
typedef struct {
     
	SLCell_t data[MAX_SIZE+1];
	int keyNum; //关键字个数
	int len; //静态链表长度
}SLList_t;

• 设置队尾和队首指针。因为要比较的是10进制数的大小，基数为10，因此10个队尾指针和10个队首指针都分别用1个大小为10的int数组表示。指针域中存的值也为数据在静态链表的数组中的索引

#define RADIX			10 //关键字基数 这里排序的是10进制数，因此基数为10
typedef int PtrArr_t[RADIX]; //指针数组类型

• 一趟分配：先清空队首指针，遍历静态链表，依次将各个元素分配到不同队列中。要注意算法实现时并非是真的额外增加了10个队列，而是只更新队首和队尾指针，并更新对应的静态链表的指针域

//按照第 key_index 个关键字进行一趟分配
void Distribute(SLList_t* sllist, int key_index, PtrArr_t* f, PtrArr_t* e)
{
     
	//清空队首指针
	for (int i = 0; i < RADIX; ++i)
	{
     
		(*f)[i] = 0;
	}

	for (int p = sllist->data[0].next; p; p = sllist->data[p].next)
	{
     
		int key = sllist->data[p].keys[key_index];

		if (!(*f)[key])
		{
     
			(*f)[key] = p;
		}
		else {
     
			sllist->data[(*e)[key]].next = p;
		}
		(*e)[key] = p;
	}
}

• 一趟收集：先将静态链表中的0号元素的指针域指向第一个非空队列的队首指针所指元素，之后将相邻的非空队列队首和队尾指针所指元素两两连接，然后将最后一个非空队列的队尾指针所指元素的指针域指向0表示链表尾

void Collect(SLList_t* sllist, PtrArr_t* f, PtrArr_t* e)
{
     
	int i;

	//找到第一个非空队列
	for (i = 0; (*f)[i] == 0; ++i)
	{
     
	}
	sllist->data[0].next = (*f)[i];
	
	for (int j = i + 1; j < RADIX; ++j)
	{
     
		if ((*f)[j])
		{
     
			sllist->data[(*e)[i]].next = (*f)[j];
			i = j;
		}
	}
	sllist->data[(*e)[i]].next = 0;
}

• 主体部分

void SLList_radix_sort(SLList_t* sllist)
{
     
	PtrArr_t f, e;

	//初始化静态链表的指针域
	for (int i = 0; i < sllist->len; ++i)
	{
     
		sllist->data[i].next = i + 1;
	}
	sllist->data[sllist->len].next = 0;

	for (int i = 0; i < sllist->keyNum; ++i)
	{
     
		Distribute(sllist, i, &f, &e);
		Collect(sllist, &f, &e);
	}
}

void Radix_sort(SqList_t* list)
{
     
	SLList_t sllist;

	sllist.len = list->len;
	sllist.keyNum = MAX_KEY_NUM;
	
	//将数值转换为多关键字，存入静态链表
	for (int i = 1; i < sllist.len + 1; ++i)
	{
     
		Key_t num = list->rec[i].key;

		for (int j = 0; j < sllist.keyNum; j++)
		{
     
			sllist.data[i].keys[j] = num % 10;
			num /= 10;
		}
	}

	SLList_radix_sort(&sllist);

	int adr[MAX_SIZE + 1];

	adr[0] = 0;
	for (int i = 1; i <= list->len; ++i)
	{
     
		adr[i] = sllist.data[adr[i-1]].next;
	}
	Rearrange(list, adr); //该函数是利用地址数组重排记录的实际物理地址 解释见内部排序的第一篇博客
}

算法评价

$$设n:记录数，d:关键字数，rd:基数$$

T(n)

• 一趟分配(将$n$个记录分配到相应队列中)
  $$T(n)=O(n)$$
• 一趟收集：将$rd$个队列首尾相连
  $$T(n)=O(rd)$$

$$\therefore T(n)=O(d(n+rd))$$可以看到，当$n$很大时，这个时间复杂度接近于线性

S(n)

需要$2rd$个队列指针以及$n$个指针域
$$\therefore S(n)=O(rd+n)$$

是否稳定

• 稳定