傅里叶变换公式推导（一）

一、概述

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章；而你眼中那变化多端，复杂多样的函数，实际只是由不同幅度（幅度谱），不同相位（相位谱）的正弦波所组成；而这神奇的函数变换规律，就来源于傅里叶变换，学习傅里叶变换，让我们透过现象看本质。
下面的图是由不同的正弦波所构成的矩形脉冲，它就像不同的齿轮相互嵌套旋转所形成。

二、完备正交函数集

我们先从空间中的一个点来开始讨论，我们应该怎样去定位它，在二维空间中，我们采用了一个X,Y两条坐标轴去确定点在空间的位置，而在三维空间中，我们引入了Z轴，构成三维的坐标系。那倘若在N维的空间呢，我们不妨想想，坐标的本质是每两条的坐标轴都互相垂直，如果我们能找到N条相互垂直的函数（函数的垂直是在一定的区间，函数内积的积分为零），是不是就可以去确定在N维空间上的点。而这样的函数集我们称之为正交函数集。在正交函数集中，若不存在任何的非零函数，那么便称之为完备正交函数集。例如：

三角函数完备正交集：sin 0,cos 0,sin x,cos x,sin2x,cos2x…sin nx,cos nx

傅里叶变换是从三角函数的正交性推导而来，这是之后推导的数学基础。可以任选其中的两个三角函数加以证明。

三、周期函数的傅里叶级数

由三角函数的正交性可知，一个周期函数可由完备正交函数集展开，即正交分解。假设有一个周期为2π的函数，那么它一定可以由前面的三角正交函数集分解，其形式为：

由上式可知，里面的未知变量有a0,an,bn。接下来，对它们进行求解：

1. a0求解，对上述式子左右两边进行定积分：
   注：其中cos0与cosnx或sinnx，由于它们是三角正交函数集的两项，所以对它们的积分为零
2. an的求解，等式两边乘以cosmx，然后两边进行定积分
   
3. bn的求解，等式两边乘以sin mx，然后两边进行定积分
   
   对上式进行整理，便可得到周期为2π的傅里叶级数的式子：
   
   注：其中的a0的求解值将1/2放到原式