DFT、DTFT、DFS的区别与联系

DFT、DTFT、DFS的区别与联系

傅里叶变换可对离散序列进行变换,也可对连续信号进行变换。

傅里叶变换和傅里叶级数


CTFT: x ( t ) → X ( j Ω ) x(t)→X(j\Omega) x(t)X(jΩ)
将连续信号从时域变换到频域,频域是连续的,以 Ω ( r a d / s ) \Omega (rad/s) Ω(rad/s)为坐标轴,画[0,2π]
计算机没法做这个变换,只能在数学上推导,或是采样一段连续信号成离散序列,用FFT将点数N取大一点来近似CTFT

DTFT(FT): x ( n ) → X ( e j ω ) x(n)→X(e^{j\omega}) x(n)X(ejω)
将离散序列从时域变换到频域,频域是连续的,以 ω ( r a d ) \omega(rad) ω(rad)为坐标轴,画[0,2π]
DTFT用的少,因为连续的频率数据计算机是处理不了的


分为两组记忆比较方便,关于频率的坐标关系 f , Ω , ω , k f,\Omega,\omega,k f,Ω,ω,k可参考物理频率,圆频率,数字频率之间的关系


DFT: x ( n ) → X ( k ) x(n)→X(k) x(n)X(k)
将离散序列从时域变换到频域,频域是离散的,以 k k k为坐标轴,画[0,N]
在用DFT函数(或者是快速傅里叶变换FFT)时,是要确定变换点数 N N N的,一般取 2 n 2^n 2n k k k的最大值为N,对应DTFT中的2π

%matlab程序
N = 512;
xn = [1 2 3 0 0 0];
Xk = fft(xn,N)

DFS: x ~ ( n ) → X ~ ( k ) \tilde{x}(n)→\tilde{X}(k) x~(n)X~(k)
将无限长序列从时域变换到频域,频域是离散的,以 k k k为坐标轴
如果 x ~ ( n ) \tilde{x}(n) x~(n) x ( n ) x(n) x(n)的周期延拓,那么 X ~ ( k ) \tilde{X}(k) X~(k)也是 X ( k ) X(k) X(k)的周期延拓,所以DFT与DFS其实是取主值周期延拓的关系


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