说说AHP

我的第1篇博客（说说AHP）

这是本人的第1篇博客，之前想过写博客的，但是Markdown不会，本人自学了一段时间，可以使用Markdown了，就想着，写个博客吧，顺便也是对自己的提升锻炼

这篇博客主题是关于AHP的，因为本人在学习有关数学建模的一些知识，第一个讲的就是这个算法，下面我就简单说一下这个算法的一些知识吧（有用的话就关注一下作者吧，会更新很多好内容）

1.什么是AHP？

在日常生活中，我们经常遇到一些决策问题，例如购物，买一种商品，往往要根据它的价格、实用性、外观等方面考虑买哪种商品。购买食物，则要依据色、香、味、以及价格等的因素选择某种食材。过去人们处理这些问题往往是主观印象分析，随意性较大而且缺少科学性，因而有时常常造成重大的失误。

AHP（层次分析法）是将决策问题定量化处理的一种有效手段。

2.AHP的基本步骤

• 建立决策模型
  既然要决策，就要首先建立决策模型 一般是分3层，第1层是目标（决策目标），第2层是因素（价格、实用性等），第3层是选择（可供选择的具体方案）这里建议可选方案不超过10个，心理学认为，人能准确判断优劣程度的最大数目是10个，超过这个范围就会产生较大的判断错觉。比如我们平常购物，面对琳琅满目的商品常常会眼花缭乱，难以选择购买哪种商品。

• 构造对比较阵（权重矩阵）
  这里就是定量思想的应用，引入一个量——权重(weight)，人们对某个因素更为关心，往往会给与它比较高的权重，也就是若A的权重高于B，那么认为A比B更重要。更倾向于选择A。我们用两两比较的方法将各因素的重要性量化（两个东西进行比较，最能比较出它们的相对优劣程度）
  具体做法是： 每次取两个因素$x_i$ 和$x_j$ ，用正数$a_{ij}$ 表示$a_i$与 $a_j$ 的重要性之比。全部比较结果得到的矩阵称为对比矩阵（也称为正互反矩阵）。
  显然，对于一个正互反矩阵，有以下结论
  $a_{ij}>0$ \quad $a_{ij}\times a_{ji}=1$ \quad $i,j=1,2,3........n$
  如何选取$a_{ij}$呢？萨迪提出了一种方法：用$1\sim 9$及其倒数作为标度，意义如下表
  
  在每两个等级之间有一个中间状态$2,4,6,8$,表示介于两者之间
  如何获取这些值呢？————最简单的方法就是询问得知，让决策人自己决定，从而得到矩阵。
  但是，有时如果决策人对这些因素重要性的比较具有逻辑的绝对一致性，即$a_{ij}\times a_{jk}=a_{ik}$
  那么我们称这样的对比矩阵为一致矩阵。需要注意的是，这只是偶尔的情况，我们没办法使其总是完全一致。
  那么如何检验矩阵$A$ 的一致性呢？显然对$A$中的每个元素用$a_{ij}\times a_{jk}=a_{ik}$来讨论是很麻烦的，由线性代数有关知识可以证明： $n$ 阶对比矩阵$A$是一致阵，当且仅当 $A$的最大特征值${\lambda }_{max}=n$。因此计算$A$的最大特征值就可判断$A$是否是一致阵。如果$A$不是一致阵，还可以证明得${\lambda }_{max}>n$ ,而且${\lambda }_{max}$越大，一致性越低。

• 一致性检验
  可以看出矩阵$A$的不一致性是不可避免的，但只要它的不一致性不是很严重，我们还是可以接受的。所以，科学家给出了一个衡量可接受的指标以及寻求该指标的方法。共分3步：
  （1）计算一致性的指标CI（consistency index)用来衡量$A$ 的不一致程度
  $$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$
  (2)查找相应的平均随机一致性指标RI（random index）。
  我们可以用排列组合的方法将所有的可能矩阵($A_1$,$A_2$,…$A_k$)全部找到。它们这些3阶阵构成一个样本空间（集合）。算出每个矩阵的最大特征值，再取平均值，得到 $C{I}^{\prime }=RI$。再计算$s=\frac{CI}{RI}$我们认为若$s$<$\frac{1}{10}$ 就说$A$的不一致程度是可接受的
  $$RI=\frac{{\lambda }_{max}^{\prime }-n}{n-1}$$
  (3)计算一致性的比例CR（consistency ratio)
  $$CR=\frac{CI}{RI}$$
  结论：当 $CR<0.1$时，认为矩阵$A$的不一致性是可以接受的，否则应修改比较阵，直至达到可接受的标准为止。

• 计算权重向量
  当我们构造出了可接受的对比矩阵$a_{ij}$ ，我们就可以计算此层中$n$因素在目标中所占的比重，将这些比重写成向量并归一化即得权重向量$\omega =({\omega }_1,{\omega }_2,....{\omega }_n{)}^T$ 。
  下面是权重向量的几种常见求法：
  （1）算术平均值法：取对比矩阵$A$的 n个行向量归一化后的算术平均值近似作为权重向量。
  （2）特征值法：求矩阵 $A$的最大特征值所对应的特征向量并进行归一化即可作为权向量（这是一种更精确的方法）。
  此外还有几何平均值法、最小二乘法等。

• 求各方案的综合得分 确定最优方案
  前面我们求的都是在一层中各因素的权重，这个过程称为单层次排序。不妨设权重向量为$\omega =({\omega }_1,{\omega }_2,....{\omega }_n{)}^T$ ，而有$l$个方案可供选择，且每个方案的权重向量分别为 ${\beta }_1,{\beta }_2...{\beta }_l$。那么每个方案对最终目标的影响程度$(r_1,r_2,....r_n{)}^T$ 就可以通过下面的公式算出来了。
  $$(r_1,r_2,....r_n{)}^T=({\beta }_1,{\beta }_2...{\beta }_l{)}_{l\times n}\times ({\omega }_1,{\omega }_2,....{\omega }_n{)}^T$$
  其中$r_k$就是第k个方案在目标中所占的比重，也就是第k个方案的最终得分，得分最高的方案即为最优方案。

说了这么多，这个方法是不是毫无缺点呢？当然不是！
层次分析法的不足：
（1）它只能从现有的方案中选择出较优的一个，并不能提供出一个新的或是更好的方案来。
（2）该方法中的比较，判断以及结果都是比较粗的，并不适合精确的计算。
（3）建立层次结构及对比矩阵，人的主观因素还是占了很大比例，这是一个无法完全克服的缺点。（但我们可以让多个专家来做出判断，或者以广泛问卷调查方式得出对比矩阵。）

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