倪文迪陪你学蓝桥杯2021寒假每日一题：1.21日（2018省赛A组第9题）

2021年寒假每日一题，2017~2019年的省赛真题。
本文内容由倪文迪（华东理工大学计算机系软件192班）和罗勇军老师提供。
后面的每日一题，每题发一个新博文，请大家每天看博客蓝桥杯专栏: https://blog.csdn.net/weixin_43914593/category_10721247.html

提供C++、Java、Python三种语言的代码。

2018省赛A组第9题“倍数问题” ，题目链接：
http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1366
https://www.dotcpp.com/oj/problem2277.html

1、题目描述

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小葱给了你 n 个数，希望你从这 n 个数中找到三个数。使得这三个数的和是 K 的倍数，且这个和最大。数据保证一定有解。
输入：第一行包括 2 个正整数 n, K。第二行 n 个正整数，代表给定的 n 个数。
1 <= n <= 10^5, 1 <= K <= 10^3，给定的 n 个数均不超过 10^8。
输出：输出一行一个整数代表所求的和。

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2、题解

   先从暴力法开始思考。从n个数中找出任意3个数求和，看是否为k的倍数，其中最大的和就是答案。从n个数中拿3个数，有$n(n-1)(n-2)$种情况，而$n<=10^5$，超时。
  题目看起来很像背包（网上有用背包的题解），但是背包肯定要同时遍历所有的$n$和$k$，复杂度大于$O(nk)$，会超时。
   怎么办？注意到题目的要求有点怪：“三个数的和是 K 的倍数”。设三个数是a、b、c，符合条件的是：
   $(a+b+c)\%k=0$，即三个数的和对k求余数结果是0。
   或者写为：
   $(a\%k+b\%k+c\%k)\%k=0$
   这样，就把在n个数中搜三个数$a、b、c$，转化为在$k$个数中搜$a、b、c$的余数。余数只有$k$个，由于$n$比$k$大很多，复杂度能大大下降。
  原来这是一道数论题！
  具体做法是：
  （1）把$n$个数对$k$求余，按$\%k$的结果分个类，记录该余数对应的最大三个数。

0	a	b	c
1	.	.	.
2	.	.	.
3	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
k-1	.	.	.

  （这个表格参考了https://blog.csdn.net/weixin_44290841/article/details/105788802）
  （2）用$i、j$循环暴力枚举前2个余数$a\%k、b\%k$，第三个余数$tmp=c\%k$等于：
  $tmp=(k-i+k-j)\%k$
  复杂度分析：用$i、j$对$k$循环2次，复杂度$O(k^2)$，题目中$k$=1000，非常好。

3、Python代码

  下面的Python代码完全重复了上面的解释。

#http://oj.ecustacm.cn/ User: 08195555
n, k = map(int,input().split())
r = [[0] * 3 for i in range(k)]     #记录余数，每个余数记录最大的三个数a、b、c

a = input().split()
# 输入数据就分组 同余一组 维持每组最大的三个数 用插入排序
for i in range(len(a)):    
    re = int(a[i]) % k
    if int(a[i]) > r[re][0]:
            r[re][2], r[re][1], r[re][0] = r[re][1], r[re][0], eval(a[i])
    elif int(a[i]) > r[re][1]:
            r[re][2], r[re][1] = r[re][1], eval(a[i])
    elif int(a[i]) > r[re][2]:
            r[re][2] = eval(a[i])
 
Max = 0
# 按照余数枚举
for i in range(k):
    for j in range(i, k):
        tmp = (k - i + k - j) % k
        v1 = r[i][0]       #a的余数 
        if i == j:
            v2 = r[i][1]   #如果b的余数和a的余数相同
            if i == tmp:   #如果c的余数和a也相同
                v3 = r[i][2]
            else:
                v3 = r[tmp][0]
        else:              #如果b的余数和a的余数不同
            v2 = r[j][0]
            if i == tmp:
                v3 = r[i][1]
            elif j == tmp:
                v3 = r[j][1]
            else:
                v3 = r[tmp][0]
        if v1 + v2 + v3 > Max:
            Max = v1 + v2 + v3
 
print(Max)

4、C++代码

   倪文迪的话：“主要从k入手，可以把所有的数先排序，再根据%k结果分个类。然后暴力枚举其中两个，另外一个根据三者之和%k为0的性质得出。由于栈的特殊性，排序后，后入栈的必定大，因而和最大。枚举时可以人为规定三者为不减顺序，可以压缩一点时间。”
  下面是倪文迪提供的代码。他存同余数组，没有用上面python代码中的普通数组，而是用了一个技巧：用栈数组。请对照代码仔细理解。

#include
using namespace std;
const int N = 1010;
stack<int> st[N];  //用栈数组来存同余
int a[100010];
int main(){
     
	int n, k; cin >> n >> k;
	for(int i=1;i<=n;i++)  cin >> a[i];

	sort(a + 1, a + n + 1);         //先从小到大排序，然后用栈来存同余的数
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)   //进栈是从小到大，出栈按从大到小
		st[a[i] % k].push(a[i]);

	int res = 0;
	for(int i = 0 ; i < k ; i++){
     
		if(!st[i].size())
            continue;
		for(int j = i ; j < k ; j++){
     
			if(!st[j].size())
                continue;
			int rm = (k - i - j + k) % k, tmp = 0, ans1, ans2, ans3;
			if(rm < j)
                continue;
			if(st[i].size()){
     
				ans1 = st[i].top();
				tmp += ans1;
                st[i].pop();
				if(st[j].size()){
     
					ans2 = st[j].top();
					tmp += ans2;
					st[j].pop();
					if(st[rm].size()){
     
						ans3 = st[rm].top();
						tmp += ans3;
						st[rm].pop();
						res = max(res, tmp);
						st[rm].push(ans3);
					}
					st[j].push(ans2);
				}
				st[i].push(ans1);
			}
		}
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}

5、Java代码

//http://oj.ecustacm.cn/ User: mingyuemy
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main{
             
    public static void main(String[] args) throws IOException {
     
        StreamTokenizer st=new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
        st.nextToken();
        int n=(int)st.nval;
        st.nextToken();
        int k=(int)st.nval;
        int[][] a=new int[k][3];
        for(int i=0;i<n;i++) {
     
            st.nextToken();
            int t=(int)st.nval;
            int r=t%k;
            if(t>a[r][0]) {
     
                a[r][2]=a[r][1];
                a[r][1]=a[r][0];
                a[r][0]=t;
            }else if(t>a[r][1]) {
     
                a[r][2]=a[r][1];
                a[r][1]=t;
            }else if(t>a[r][2]) {
     
                a[r][2]=t;
            }
        }
         
        long ans=0;
        for(int x=0;x<k;x++) {
     
            for(int y=0;y<k;y++) {
     
                int z=(k+k-x-y)%k;
                int v1=0,v2=0,v3=0;
                v1=a[x][0];
                if(y==x) {
     
                    v2=a[y][1];
                    if(z==x) {
     
                        v3=a[z][2];
                    }else {
     
                        v3=a[z][0];
                    }
                }else {
     
                    v2=a[y][0];
                    if(z==x) {
     
                        v3=a[z][1];
                    }else if(z==y) {
     
                        v3=a[z][1];
                    }else {
     
                        v3=a[z][0];
                    }
                }
                if(v1+v2+v3>ans) ans=v1+v2+v3;
            }
        }
        System.out.println(ans);         
    } 
}