学习粒子滤波

本文仅用于个人学习的总结。不保证正确性。

前段时间报名的深蓝学院的激光SLAM的课程基本结束，感觉和之前阅读的《概率机器人》一书内容有很多相通，于是决定再读一遍这本书，希望能够有更深入的了解。看到了之前就搞不懂的“粒子滤波”部分，下定决心认真学习，虽然还是没有完全搞懂，但学习的深入了一些。

0. 参考资料

bilibili的讲解视频，非常系统：https://www.bilibili.com/video/BV1wW411S7mn?p=1

简书：随机模拟-Monte Carlo积分及采样：https://www.jianshu.com/p/3d30070932a8

1. 贝叶斯滤波

贝叶斯滤波是第二章节的内容，后面第三章卡尔曼滤波、第四章的粒子滤波，都属于贝叶斯滤波体系。贝叶斯滤波首先通过上一时刻的状态，预测当前时刻的结果，然后根据观测结果进行更新。
在bilibili的视频中，Up主解释了什么叫“滤波filtering”，即求解$p(x_t|z_{1:t})$。截图中Up主采用的符号表示与我常见的正好相反，他用$z$表示状态，$x$表示观测，但为了统一，还是采用$x$为状态，$z$为观测这种表示。截图由右上角部分，表示如果是一个线性高斯系统，采用卡尔曼滤波；非线性非高斯，可以采用扩展卡尔曼进行线性化，也可以采用粒子滤波这种非参数表示方法。关于卡尔曼滤波可以参考之前总结的博客。

2. 粒子滤波

Up主讲到，基本的粒子滤波是“sequential importance sampling (SIS) + resampling”，即“序列重要性采样+重采样”。所谓SIS是重要性才采样(IS)的一种改进，我没搞懂大概的区别。大概来说，就是我需要得到一个分布的采样结果（称“目标分布”，但这个分布可能未知或者很难求得（我一直没搞懂什么叫“未知”，因为后面计算重要性时还是带入进行了计算，所以不太理解实际应用时是个什么情况），于是我们用一个估计的分布，叫做“建议分布”，来得到目标分布的结果。

首先根据建议分布生成一组采样数据，即一组粒子。之后对每个粒子赋予不同的权重，权重的定义从图上可以看出来就是$p(z)/q(z)$ 即目标分布与建议分布的比值，可以理解为，如果这两个分布越接近，比值接近于1，则建议分布的采样结果就是真实目标分布的采样结果；否则，若比值接近于0，意味着建议分布在这个区域的采样没有参考价值（目标分布在这个区域概率密度极低）。经过此操作后，带权重的粒子就能更好的逼近真实分布。下图(b)中$g$为建议分布，$f$为目标分布，下方的短线段表示根据建议分布采样得到的粒子群；©中根据 $f/g$ 的值给不同的粒子赋予不同的权重，可以看出虽然在 $[8-10]$之间有大量粒子，但权重很低。

在完成重要性采样后，需要再经过一个“重采样”过程，按照当前粒子的重要性加权进行采样，得到相同数量的粒子且权重都一样。之所以采用重采样，是因为若不进行重采样，在之后需不断滤波更新权重时，权重会分布的极其不均匀，出现极少数粒子权重极大，大多数粒子权重接近0的退化情况，本质原因还是粒子数量相比于空间维度不充足。解决方法有：1. 增加粒子数量（不现实，需指数级别增加）；2. 寻找更接近目标分布的建议分布（也不现实，真的能很精确就不需要这么搞了）；3. 重采样。

完整的 SIR(Sequential Importance - Resampling)算法如下。可以看出，权重在Sampling时进行更新，更新的依据就是目标分布与建议分布的比值（这部分由 sequential importance sampling 推导得出)。

如果将建议分布采用观测模型进行带入，便得到了粒子滤波算法中，采用观测模型进行权重计算的方法。由于之前的权重都是相同的，而且之后权重进行归一化，所以直接计算而不需要迭代。

3. 小结

稀里糊涂，就算自己大概懂了吧。理解了重要性、重采样的由来是有这么多的数学依据，以及不理解什么叫目标分布很难采样，希望以后学习过程中能不断理解。

注：所有图片来自：《概率机器人》、参考资料中bilibili的视频截图、简书的配图。

4. 后记

1. 粒子滤波是对所有粒子施加运动模型，然后利用观测进行赋权，不需要计算后验；
2. 采样xt比计算xt的密度要容易：采样是运动模型的前向仿真，而计算位姿的概率意味着重新推测误差参数，这需要计算物理运动模型的逆。