19.12.31QWQ和棋局挑战题解

nefuOJ1606
QWQ和棋局挑战题解

在一个$n\ast n$大小的棋盘上放置$k$个棋子，要求放置后的棋盘上每一行和每一列最多有一个棋子，求方案数，其中$0<n<9,0<k<=n$。
1.和八皇后问题不同,去掉了每条对角线上最多有一个棋子的限制.
2.(法I)考虑dfs.
dfs(y,cnt)表示当前考虑第y行,放置了cnt枚棋子
对于每一种状态,可以选择在第y行放置棋子,也可以选择不放.

void dfs(int y,int cnt)
{
     
    if(cnt==k){
     ans++;return;}
    if(y==n+1)return;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
     
        if(vis[i]==0)
        {
     
            vis[i]=1;
            dfs(y+1,cnt+1);
            vis[i]=0;
        }
    }
    dfs(y+1,cnt);
}

3.(法II)排列组合
先考虑k严格小于n的情况.若逐行考虑,棋盘中一定含有$n-k$个空行.
先把k枚棋子放进k行n列的棋盘,$N1=n\ast (n-1)\ast ...(n-k+1)=A_n^k$,(此处亦可以用深搜实现)
再把k行棋盘放进n行棋盘中,$N2=C_n^k$.
由分步乘法计数原理,$ans=N1\ast N2$.
特别地,当$n=k$时,$ans=n!$,亦符合上式.