统计科学系列之聊聊置信度与置信区间

今天这篇聊聊统计学里面的置信度和置信区间。

1.点估计

在讲置信度和置信区间之前先讲讲点估计，那什么是点估计呢？给你举两个例子你就知道了。

现在你想要知道一个学校学生的身高情况，你可以把所有的学生测量一遍，然后得到答案，这种方法可以，而且得到的数据肯定是最真实的，但是这里有一个问题，什么问题呢？就是如果学生人数太多，全部测量的话工作量太大了，那怎么办呢？那就随机挑选一部分学生，然后测量这一部分学生的身高，得到一个值(一般用平均值)，用这一部分的平均值来估计整体学生的身高情况，我们把这种估计方式称为点估计。

现在你要看一下某流水线上 iphone 手机的不合格率，怎么看呢？最笨的方法还是把所有的手机全部开机试用，统计不合格手机的占比，这样可以吗？很明显是不可以的。那怎么才能知道这一条流水线的质量，那就是抽样，抽取整条流水线上的部分手机进行检验，会得到一个合格率，然后用这个合格率去估计整条流水线的合格率，同样这种方式也是点估计。

那现在是不是大概理解点估计的意思了，就是用随机抽样的样本的计算出来的指标值去估计整体指标情况。常用的点估计方法有如下：

用样本均值估计总体均值
用样本方差估计总体方差
用样本的分位数估计总体分位数
用样本的中位数估计总体中位数

2.区间估计

以前上学的时候经常会考试，考完试以后老爱去估分，一般人估分不太可能直接估一个具体的数，肯定都是估一个大概的数，啥叫大概的数呢？就是比如高考分数预计 600 左右，这个左右其实就是一个区间，还有平常很多食品包装袋上会写 ±0.5 KG，表示啥意思呢？就是要么多给了你 0.5 KG，要么少给了你 0.5 KG。我们把这种用一个范围来对一个事情进行估计的方式称为区间估计，得出来的区间就是置信区间。

3.置信度

你是估算出一个区间了，但是你估算的准不准呢？准确度又有多大呢？我们把这个估算的区间的准确度(可信度)称为置信度。比如说我有 95% 的把握估计我高考分数是 600-650，这里的置信区间就是 [600,650]，置信度就是 95%。

一般置信度和置信区间是同向的，啥意思呢？就是置信度和置信区间一般是相同趋势。当置信度很高时，置信区间也会很大；当置信区间很大时，置信度也会很高。

比如我有 100% 的把握估计我高考分数是 0-750，这里的置信区间是 [0,750] 包含了所有分数的可能，那置信度肯定是 100% 哈。

4.如何计算置信区间

那么我们该如何通过部分样本来计算总体的一个置信区间呢？主要有下面几个步骤：

step1：首先明确要求解的问题。就是你要预估什么？不管是全校学生身高还是学生成绩。

step2：求抽样样本的平均值与标准误差(standard error)。注意标准误差与标准差(standard deviation)不一样(标准差反映了整个样本对样本平均数的离散程度，标准误差反映样本平均数对总体平均数的变异程度)。

标准差等于方差开根号。
标准误差等于样本标准差除n的开根号。

step3：确定需要的置信水平。比如常用的 95% 的置信水平，就是我有 95% 的把握估算对，这样可以保证样本的均值会落在总体平均值2个标准差范围内。

step4：查z表，求z值。什么是z表呢？是不是已经忘记了，z表是标准正态分布表，是用来反映标准分与概率值之间的关系表，也就是通过标准分能查到概率值，通过概率值也可以反查标准分。

现在我们知道了 95% 的置信水平对应的概率值是 2.5% ，只需要通过标准正态分布表查出 2.5% 概率对应的标准分即可，也就是z值。

常用置信水平与标准分z值的对应表

step5：计算置信区间

a = 样本均值 - z*标准误差

b = 样本均值 + z*标准误差

最后置信区间就为 [a,b]。