2021.01.14【NOIP提高B组】模拟 总结

2021.01.14【NOIP提高B组】模拟 总结

第一题 Candy

奇奇怪怪的题目。
一开始没有理解题目，其实就是同时变换。
打了一个暴力。
本人随机生成50000组数据，都过了，时间没超。希望出题人良心。
应该是结论题，有公式吧。
正解其实就是暴力。
设操作次数为$n$。
可以证明：$n\approx {log}_2^a$（注：$a,b,c$同阶）
题目大意：
给你三元组$\left(a,b,c\right)$，每一次操作变成$\left(\frac{b+c}{2},\frac{a+c}{2},\frac{a+b}{2}\right)$，问多少次其中一个变为奇数。

第二题 嘟嘟噜

约瑟夫问题，感觉是结论。
或者是二分判断？？？
打了暴力链表加上$m=2$的情况，打表一下找规律即可，可惜没找到$3$的规律。
正解是约瑟夫问题的方法，递归转化问题。
考虑$n,m$的情况，用$O(n)$时间复杂度做出。
设$f_{n,m}$表示有$n$个人，报数到$m$的最后剩下的人。
转移
$f_{n,m}=\left(f_{n-1,m}+m\right)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
这样子过不去，考虑$m$较小时，可以用$O(mlo{g}_2^n)$的算法。
分类讨论。
证明看这。

第三题 天才绅士少女助手克里斯蒂娜

维护一个区间向量的神奇操作。
以前做过类似的题目，但是忘了向量乘法的法则。
正解线段树还是树状数组，忘了。
正解是树状数组。
在模长上，向量叉积的几何意义是以两个向量为边的平行四边形的面积。
所以可得（设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$分别为两个向量）：
则$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=a_1{b}_2-a_2{b}_1$
然后原式变为
$\begin{array}{r}\sum _{i=l}^r\sum _{j=i+1}^r{\left(x_i{y}_j-x_j{y}_i\right)}^2\end{array}$
化简得：
$\begin{array}{r}\left(\sum _{i=l}^r{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=l}^r{y}_i^2\right)-{\left(\sum _{i=l}^r{x}_i{y}_i\right)}^2\end{array}$
用$BIT$树状数组维护即可，常数不要太大。

第四题 凤凰院凶真

考虑$dp$，设$f_{i,j}$。然后转移很容易，然后记录前驱。但是这种方法是$O\left(n^4\right)$，可能可以过$n=400$的吧（$n,m$同阶）。
正解也是$dp$吗？看$n,m$这么小。
正解是$dp$。
设$f_{i,j}$表示当$n=i$且$m=j$时的答案。
转移就是分类讨论：
当$\begin{array}{r}{a}_i=b_j，f_{i,j}=max\left(f_{i-1,j},1+\underset{0\le k<j,b_k<b_j}{\max }{f}_{i-1,k}\right)\end{array}$。
否则，$f_{i,j}=f_{i-1,j}$。
用$pr{e}_{i,j,0/1}$表示它是由什么转移过来的即可。
优化：
我们枚举j时按从小到大的顺序，然后边更新边把那一坨求出来。时间复杂度$O\left(nm\right)$。