泰勒公式、等价无穷小代换式总结

泰勒公式是极限计算的重要工具，常用重要函数的泰勒展开式有：

1. $\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{x}=\mathbf{x}-\frac{{\mathbf{x}}^3}{3!}+\frac{{\mathbf{x}}^5}{5!}-\frac{{\mathbf{x}}^7}{7!}+\mathbf{o}({\mathbf{x}}^7)$

$sinx$是奇函数，展开式也绝不会有偶函数的形式，其中o(·)为佩亚诺余项;

一般用到余项为3次方即可$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

2. $\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\mathbf{x}=1-\frac{{\mathbf{x}}^2}{2!}+\frac{{\mathbf{x}}^4}{4!}-\frac{{\mathbf{x}}^6}{6!}+\mathbf{o}({\mathbf{x}}^6)$

$cosx$是偶函数，展开式也绝不会有奇函数的形式.

3. $\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{c}\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{x}=\mathbf{x}+\frac{{\mathbf{x}}^3}{3!}+\mathbf{o}({\mathbf{x}}^3)$

4. $\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{x}=\mathbf{x}+\frac{{\mathbf{x}}^3}{3}+\mathbf{o}({\mathbf{x}}^3)$

5. $\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{c}\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{x}=\mathbf{x}-\frac{{\mathbf{x}}^3}{3}+\mathbf{o}({\mathbf{x}}^3)$

6. $\mathbf{l}\mathbf{n}(1+\mathbf{x})=\mathbf{x}-\frac{{\mathbf{x}}^2}{2}+\frac{{\mathbf{x}}^3}{3}+\mathbf{o}({\mathbf{x}}^3)$

7. ${\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}=1+\mathbf{x}+\frac{{\mathbf{x}}^2}{2!}+\frac{{\mathbf{x}}^3}{3!}+\mathbf{o}({\mathbf{x}}^3)$

8. $(1+\mathbf{x}{)}^{\mathbf{\alpha }}=1+\mathbf{\alpha }\mathbf{x}+\frac{\mathbf{\alpha }(\mathbf{\alpha }-1)}{2!}{\mathbf{x}}^2+\mathbf{o}({\mathbf{x}}^2)$

由泰勒展开式作差，可得到一组“差函数”的等价无穷小代换式，
当$x\to 0$时：

1. $\mathbf{x}-\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{x}\sim \frac{{\mathbf{x}}^3}{3!}=\frac{{\mathbf{x}}^3}{6}$

其中$x$可任意替换，$x-sin(g(x))\sim \frac{(g(x){)}^3}{6}$，写成狗也可以，$狗-sin(狗)\sim \frac{(狗{)}^3}{6}$

2. $\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{c}\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{x}-\mathbf{x}\sim \frac{{\mathbf{x}}^3}{6}$

3. $\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{x}-\mathbf{x}\sim \frac{{\mathbf{x}}^3}{3}$

4. $\mathbf{x}-\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{c}\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{x}\sim \frac{{\mathbf{x}}^3}{3}$

常用等价无穷小还包括：
$sinx\sim x,tanx\sim x,arcsinx\sim x,arctanx\sim x,ln(1+x)\sim x,e^x-1\sim x,a^x-1\sim xlna,1-cosx\sim \frac{x^2}{2},(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$

其中$x$也可任意替换，灵活使用

例题：

1. $\frac{A}{B}$型

计算$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-sinx}{x^3}$，这种类型要尽可能避免使用洛必达法则，考点往往是利用泰勒公式解决.

将分子代换为与上下同阶的形式：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3}=\frac{1}{6}$.

2. $A-B$型

$x\to 0$时，$cosx-e^{-\frac{x^2}{x}}$与$a{x}^b$为等价无穷小，计算a,b，利用泰勒公式，将$A和B$分别展开到他们的系数不相等的$x$的最低幂次.

$cosx-e^{-\frac{x^2}{x}}=[1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)]-[1-\frac{x^2}{2}+\frac{\frac{x^4}{4}}{2!}+o(x^4)]\sim -\frac{x^4}{12}$

故a=$\frac{-1}{12}$,b=4.

但须注意，有些情况下不能随便用等价无穷小代换：

1. 加减情况下不能随便使用等价无穷小
   
2. 无穷小量为零的情况下不能使用等价无穷小代换

注意：此题中提到的等价替换表达式其实为$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinf(x)}{x}\ne 1$，其中x是自变量，$x$在趋于0的过程中，当$x_n=\frac{1}{n\pi },f(x)$会=0，无穷小量为0，不能使用等价无穷小；但若表达式写作

$\underset{狗\to 0}{\lim }\frac{sin狗}{狗}=1$（此题中并未用到），

狗趋近于0，但不会取到0，三者都为狗，所以不会存在无穷小量为0的情况，因此在此前提下将$sin狗\sim 狗$放心地广义化，对比上一个表达式，可将此种类型的题理解为$sin$狗不等价狗的案例。

总结：
实际计算数列极限的问题更为繁琐，还包括用定义法证明数列极限，并用性质（唯一性、有界性、保号性）求极限，以及运用极限的四则运算规则、夹逼准则、单调有界限准则（单调有界必有极限）、放缩后裂项相消等方法求极限，学会运用泰勒公式以及正确前提下使用等价无穷小替换也极为重要。