组合数学|排列与组合
加法原理
完成一件事情，有N类方式去实现，第一类方式有 a 1 a_1 a1种，第二类方法有 a 2 a_2 a2种，…，第N类方法有 a n a_n an种，则完成这件事情的总方法数为：
∑ i = 1 N a i \sum_{i=1}^N a_i i=1∑Nai
例如：从北京到上海有火车、飞机、轮船 3 种方式，火车、飞机、轮船分别有 a1，a2，a3 个班次，那么从北京到上海有 a1+a2+a3 种方式可以到达。
乘法原理
做一件事，完成它要分成 n 个步骤，第一步有 a 1 a_1 a1 种不同的方法，第二步有 a 2 a_2 a2 种不同的方法，…，第 n 步有 a n a_n an 种不同的方法，那么完成这件事共有 a 1 × a 2 × a 3 × … × a n a_1 ×a_2×a_3×…×a_n a1×a2×a3×…×an 种不同的方法
例如：从北京乘坐火车到上海，需要转 3 次车，每次专车分别有 a1，a2，a3 个班次，那么从北京到上海有 a1×a2×a3 种方式可以到达。
排列组合
在排列与组合问题中，经常会出现计数问题，解决计数问题的思路一般有以下三种：
1）只取需要的。将各种符合条件的情形枚举出来，再利用加法原理求和。
2）先取后排。将各步符合条件的排列或组合计算出来，再根据乘法原理求积。
3）先全部取，再减去不要的。利用容斥定理，将各种符合条件的情形枚举出来，再减去不符合条件的。
排列数
从 n n n个不同元素中取出 m ( m < = n ) m(m<=n) m(m<=n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n n n个不同元素中取出 m m m个元素的排列数，⽤符号 A n m A_n^m Anm表示
A n m = n ! ( n − m ) ! A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} Anm=(n−m)!n!
组合数
从 n n n个不同元素中取出 m m m个元素的所有组合的个数，叫做从 n n n个不同元素中取出 m m m个元素的组合数。⽤符号 C n m C_n^m Cnm或 C ( n , m ) C(n,m) C(n,m)来表示
C n m = A n m m ! = n ! m ! ( n − m ) ! C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} Cnm=m!Anm=m!(n−m)!n!
组合恒等式
1） C n m = C n n − m C_n^m=C_n^{n-m} Cnm=Cnn−m
2） C n m = C n − 1 m + C n − 1 m − 1 C_n^m=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1} Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1 ★
3） C n m = n m C n − 1 m − 1 C_n^m=\frac{n}{m}C_{n-1}^{m-1} Cnm=mnCn−1m−1
4） C n m + 1 = n − m m + 1 ∗ C n m C_n^{m+1}=\frac{n-m}{m+1}*C_n^m Cnm+1=m+1n−m∗Cnm
5） ( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a n − k b k (a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^{k} (a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk（二项式定理）
特殊展开： 2 n = C n 0 + C n 1 + . . . + C n n − 1 + C n n 2^n=C_n^0+C_n^1+...+C_n^{n-1}+C_n^n 2n=Cn0+Cn1+...+Cnn−1+Cnn
6） C n m C_n^m Cnm 为奇数时有 n&m=n
求组合数的方法
递推求组合数 O ( n m ) O(nm) O(nm)
// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
for (int i = 0; i < N; i ++ )
for (int j = 0; j <= i; j ++ )
if (!j) c[i][j] = 1;
else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
乘法逆元求组合数 O ( n ) O(n) O(n)
首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N]
如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元
int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板
{
int res = 1;
while (k)
{
if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
a = (LL)a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}
杨辉三角形打表 O ( n m ) O(nm) O(nm)
1 1 1
11 11 11
121 1 21 121
1331 1 3 3 1 1331
14641 1 4 6 4 1 14641
…
我们不难发现其规律，每个数字等于其左上和上端的值，给定第 i i i行第 j j j列有，
a [ i ] [ j ] = a [ i − 1 ] [ j ] + a [ i − 1 ] [ j − 1 ] a[i][j] =a[i-1][j]+a[i-1][j-1] a[i][j]=a[i−1][j]+a[i−1][j−1]
组合恒等式有： C n m = C n − 1 m + C n − 1 m − 1 C_n^m=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1} Cnm=Cn−1m+Cn−1m−1 ★
那么，杨辉三角形第 i i i行第 j j j列可表示为： c i j c_ i^ j cij
f[0][0]=1;
for(int i = 1; i < N; i++)
for(int j = 1; j <= i + 1; j++)
f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
排列组合的应用
逐分法
需要分步骤完成的事件，我们首先想到的是乘法原理，对待事件逐一分配。
【例题】现在有12位警察，要分到3个路口每个路口4个人有多少种方案
【解析】第一个路口有 C 12 4 C_{12}^4 C124种选法，因为第一个路口已经用去了4位警察，所以第二个路口就只有 C 8 4 C_8^4 C84种了，第三个也只有 c 4 4 c_4^4 c44种了，根据乘法原理就可以得出总共的方案数就是 C 12 4 × C 8 4 × C 4 4 C_{12}^4×C_8^4×C_4^4 C124×C84×C44
捆绑法
要求元素相邻时，先整体考虑，将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序。
【例题】由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数必相邻的七位数的个数。
【解析】因为三个偶数2、4、6必须相邻，所以先将2、4、6三个数字“捆绑”在一起有 A 3 3 A_3^3 A33=6种不同的“捆绑”方法;再将捆绑后的元素与1、3、5、7进行全排列，有 A 5 5 A_5^5 A55=120种方法，根据乘法原理共有6×120=720种不同的排法，所以共有720个符合条件的七位数。
插空法
要求元素不相邻时，先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置，从而解决问题。
【例题】由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数，求三个偶数互不相邻的七位数的个数。
【解析】因为三个偶数2、4、6互不相邻，所以先将1、3、5、7四个数字排好，有 A 4 4 A_4^4 A44=24种不同的排法，再将2、4、6分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的三个位置上，有 A 5 3 A_5^3 A53=60种排法，根据乘法原理共有24×60=1440种不同的排法，所以共有1440个符合条件的七位数。
隔板法
把 n n n个相同的苹果分给 k k k个人，要求每个人至少分到一个，求方案数。
把 n n n个苹果排成一排，在其中插入 k − 1 k−1 k−1块隔板，表示 k k k个人分到的部分。
插隔板的方法与分苹果的方案是一一对应的，那么方案数为 C n − 1 k − 1 C_{n−1}^{k−1} Cn−1k−1
那么如果有人可以分到 0 0 0个苹果呢？
我们给每个人多分一个苹果，使得每个人至少分配到一个苹果，在分配完之后再将每个人的苹果拿走一个。
那么方案数为 C k + n − 1 k − 1 C_{k+n−1}^{k-1} Ck+n−1k−1(先给k个苹果，让他们一人一个，再分n个苹果。)
隔板法与不定方程整数解的问题
求不定方程 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + . . . + x k = n x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_k=n x1+x2+x3+x4+...+xk=n的解的个数，要求 x i > d i x_i>d_i xi>di
设 y i = x i − d i > 0 y_i=x_i-d_i>0 yi=xi−di>0
那么有 y 1 + y 2 + y 3 + . . . + y k = n − ( d 1 + d 2 + d 3 + . . . + d k ) y_1+y_2+y_3+...+y_k=n-(d_1+d_2+d_3+...+d_k) y1+y2+y3+...+yk=n−(d1+d2+d3+...+dk)
答案: C n − ( d 1 + d 2 + d 3 + . . . + d k ) − 1 k − 1 C_{n-(d_1+d_2+d_3+...+d_k)-1}^{k-1} Cn−(d1+d2+d3+...+dk)−1k−1
（1） O − O − O − O − O − O − O − O − O − O O-O-O-O-O-O-O-O-O-O O−O−O−O−O−O−O−O−O−O 9个空插3个隔板
答案为： C 9 3 C_9^3 C93
（2）非负整数意为 x i x_i xi可以是0，我们可以
( x 1 + 1 ) + ( x 2 + 1 ) + ( x 3 + 1 ) + ( x 4 + 1 ) = 14 (x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)+(x_4+1)=14 (x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)=14
即为： y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 14 y_1+y_2+y_3+y_4=14 y1+y2+y3+y4=14,13个空隙中插3个隔板
答案为： C 13 3 C_{13}^3 C133
（3）根据设 y i = x i − d i > 0 y_i=x_i-d_i>0 yi=xi−di>0
( x 1 + 3 ) + ( x 2 + 2 ) + ( x 3 + 1 ) + ( x 4 − 1 ) = 15 (x_1+3)+(x_2+2)+(x_3+1)+(x_4-1)=15 (x1+3)+(x2+2)+(x3+1)+(x4−1)=15
即为： y 1 + y 2 + y 3 + y 4 = 15 y_1+y_2+y_3+y_4=15 y1+y2+y3+y4=15,14个空隙中插3个隔板
答案为： C 14 3 C_{14}^3 C143