回溯算法知识要点

本博文写作参考程序员Carl 微信公众号（代码随想录），致谢！

---

回溯算法是一种遍历暴力穷举，时间复杂度很高。通常用于搜索一个问题所有的解，可通过深度优先遍历的思想实现。与动态规划的区别是，动态规划通常只需要求解最优解，而回溯要遍历所有解。

一、回溯是什么？

回溯法采用试错的思想，它尝试分步地去解决一个问题，当发现有分步答案不正确的时候，它将取消上一步的计算，再尝试其他可能的解答。回溯法通常用递归来实现。再反复进行上述步骤之后可能出现两种情况：

• 找到一个可能存在的正确答案
• 尝试了所有的分步方法之后，宣告该问题没有答案

1. 回溯法能解决什么问题？

回溯算法强调了回退操作对于搜索的合理性，而深度优先遍历强调的是一种遍历的思想。

为什么回溯法既难理解，又不高效，还要选择用它呢？

因为没得选，一些问题只能暴力搜索，撑死了再剪枝一下，没有更高效的解法。

那么是什么问题这么牛逼呢？通常来讲，回溯法用于解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数字里边按照一定规律找出K个数的集合
• 排列问题：N个数字按照一定规则全排列，所有的排列方式
• 切割问题：一个字符串按照一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数字的集合里有多少符合条件的子集
• 棋盘问题：N皇后，解数独

从上边可以看出，回溯法要解决的问题都是在集合中递归地查找子集合，所以都可以抽象为树形结构的问题。

2. 回溯法的模板

1. 回溯函数模板返回值及参数：回溯算法函数返回值一般为void
   参数由于不像二叉树递归的时候可以容易地一次性确定，一般是先写逻辑，然后根据需要添加参数。

   void backtracking(参数)
   

2. 回溯函数终止条件
   既然都是树形结构，那么到叶子节点自然就要终止。

   if(终止条件)
   {
          
   	存放结果；
   	return;
   }
   

3. 单步逻辑
   回溯法 = 递归过程 + 嵌套for循环

   for(选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）)
   {
          
   	处理节点；
   	backtracking(路径，选择列表)；//递归
   	回溯，撤销处理结果;
   }	
   

二、回溯算法的步骤

本文以Leetcode-46.全排列问题为例，讲解回溯算法的常见步骤。

0.题目描述

全排列问题$A_n^n$

• 状态变量：每一个节点，表示了求解一个问题时所处的阶段性状态
• 状态重置：搜索“回头”时，状态变量需要设置为和以前一样。在回到上一层节点的过程中，需要撤销上一次的操作。
• 状态空间：保存状态变量的栈空间，尾部添加，尾部删除。

1.设计状态变量

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used)

2.设定递归终止条件

遍历到叶子节点就是终止的地方
当收集元素的数组path的大小和nums数组一样达到时候，说明到底

if(path.size() == nums.size())
	result.push_back(path);
	return;

3.单层操作

used数组：记录path里边有哪些元素被使用过了，一个path里一个元素只能用一次。

for(int i=0; i<nums.size();i++)
{
     
	if(used[i] == true) continue;
	path.push_back(nums[i]);
	used[i] = true;
	backtracking(nums,used);
	path.pop_back();
	used[i] = false;
}

4.剪枝优化（选作）

通过剪掉明显错误的分枝，优化代码的运行时间。其实就是将上一步for循环里i的范围改小。

• 直接缩减 i 的遍历范围，倒着数可以遍历到的边界
• 通过在for循环里添加判断语句跳过某些情况
• 对于求和问题，通常先排序再在回溯过程中剪枝

---

三、总结

最终整体代码如下：

class Solution{
     
public:
	vector<vector<int>> result;
	vector<int> path;
	void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used){
     
	//终止条件
	if(path.size()==nums.size())
	{
     
		result.push_back(path);
		return;
	}
	//单步操作
	for(int i=0;i<nums.size();i++)
	{
     
		if(used[i]==true) continue;
		path.push_back(nums[i]);
		used[i]=true;
		backtracking(nums,used);
		path.pop_back();
		used[i]=false;
	}
	}
	vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums)
	{
     
		result.clear();
		path.clear();
		vector<bool> used(nums.size());
		backtracking(nums,used);
		return result;
	}
};

从过程可以看出，回溯三部曲和递归三部曲是一样的。

• 确定函数类型及返回参数
• 确定终止条件
• 单步操作逻辑

区别好像就是

• 回溯在单步里边有撤销操作，普通递归没有。
• 回溯在单步操作里有横向for遍历，普通递归好像没吧？？
  那么问题来了：
• 递归和回溯的实质性区别到底是什么呢？
• 如何设计函数类型及返回参数？
• 什么时候需要回撤，什么时候不用回撤呢？
• 递归函数什么时候要返回值，什么时候不要返回值呢？

关于最后这个小问题，其实函数参数还包括两种类型，一种是void型，一种是常规数据类型（比如int）。
但是在主函数中调用的时候，有的时候后者也不赋给任何值。
设计常规数据类型的目的应该还是为了在迭代过程中记录中间数据。
那么应该怎样设计void还是普通数据类型呢？