消减整数（数论）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10746/F
来源：牛客网

题目描述
给你一个数字N依序减掉1,2,3,…直到不够减。如果刚好减到0就结束，否则就加上N继续从1开始减，直到减到0为止。
请给出一个数字，计算对于该数字一共重复了几次这个过程。

输入描述
输入的第一行有一个正整数$t$，$1\le t\le 10^4$，代表测试数据的组数
接下来t行每行一个数$N$，$1\le N\le 10^8$

输出描述
对于每组输入，若能够在有限次内削减为0，在一行中输出重复的过程次数，否则输出 “Impossible”。

样例输入
3
1
2
3

样例输出
1
2
1

解题思路
BF做法，模拟每次依序减掉1,2,3,…直到不够减，记录次数，优化的方法是把前缀后记录，用二分查找直接完成一次过程，但这样还是会超时。
有一个讨巧的方法，存储已经得到答案的值，可以AC，测试数据有很多重复的值。
注意：不能在循环中使用已经存储的值，因为每一次重新加上的数$x$的值不同。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int T, n;
const int N = 1e5;
int a[N], cnt;
void init() {
     
	int i = 1, sum = 0;
	while (sum < 1e8) {
     
		sum += i;
		a[i] = sum;
		i++;
	}
	cnt = i;
}
map<int, int> mp;
void solve(int x) {
     
	if (mp.count(x)) {
     
		printf("%d\n", mp[x]);
		return;
	}
	int t = x, res = 0;
	while (1) {
     
		res++;
		int i = lower_bound(a+1, a+cnt, t) - a;
		if (t == a[i]) {
     
			mp[x] = res;
			printf("%d\n", res);
			break;
		}
		t -= a[i-1];
		t += x;
	}
}
int main() {
     
	//freopen("消减整数.in", "r", stdin);
	scanf("%d", &T);
	init();
	while (T--) {
     
		scanf("%d", &n);
		solve(n);
	}
	return 0;
}

正解，假设$N$不够减后余数是$t$，下一个要减的数是$i$，$t＜i$不断加上$N$后重复，余数为$2t$,$3t$,…$at$，当$at＞i$时，减去$i$后的余数$at-i$又是小于$i$的，再次重复的余数为$(a+1)t-i$，直到$bt-i＞i$，余数变为$bt-2i$，重复下去，直到$ct-di=i$，即$ct=lcm(t,i)$，此时的$c$即是重复过程的次数。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int T, n;
const int N = 1e5;
int a[N], cnt;
void init() {
     
	int i = 1, sum = 0;
	while (sum < 1e8) {
     
		sum += i;
		a[i] = sum;
		i++;
	}
	cnt = i;
}
int gcd(int a, int b) {
     
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b, a%b);
}
void solve(int x) {
     
	int i = lower_bound(a+1, a+cnt, x) - a;
	int t = x - a[i-1];
	int res = i * t / gcd(i, t);
	printf("%d\n", res/t);
}
int main() {
     
	//freopen("消减整数.in", "r", stdin);
	scanf("%d", &T);
	init();
	while (T--) {
     
		scanf("%d", &n);
		solve(n);
	}
	return 0;
}