CMO全国第十，保送清华姚班，别人家的牛娃是这样学习数学竞赛的！

本文作者是来自于成都七中的唐旌凯同学，他从高一开始学习数学竞赛，高三成功以全国第十的好成绩入选国家集训队，并保送姚班。

相比于许多国集金牌大佬，唐旌凯同学算是入门比较晚的，但是他从入门之初，便带着极大的热情与自信投入到数竞学习中。前两次的失败也没有让他一蹶不振，反而让他在最后一年更加全力以赴，不留遗憾。

决赛结束后，质心姐姐找到唐旌凯同学，希望他为同学们分享一下自己的学习经验，于是洋洋洒洒的五千字长文便呈现在大家眼前，从竞赛心路历程到学习方法，再到书单推荐，这真的是一篇很用心且干货的经验帖，希望能够对同学们的竞赛学习有所帮助。

大家好，我是来自成都七中的唐旌凯。2019年北大金秋营获一等奖第一名，2020年全国高中数学联赛以272分进入四川省队，决赛以全国第十的成绩进入国家集训队，保送清华姚班。

除此之外，在所有培训机构正式（现场）考试中，除高一两次十余名外，第五、四、三名各一次，第二名两次，其余均为第一。看起来挺顺利，但其实我的竞赛生涯跌宕起伏。

竞赛之路

比起周围的同学，我其实学习数学竞赛比较晚，从高一前一个月才开始正式学习数学竞赛。当初对于数学竞赛一无所知，选择其实也不过源于初生牛犊不怕虎的自信与对数学的偏爱。不过好说歹说，我入选了数竞小班，开始了我的竞赛之路。

七月末我们便开始听学长们讲课，那时候听得可是云里雾里，二次剩余，反演，Sondat，分圆多项式，Lucas，Kummer，原根……什么都来。学长的讲义有一份叫做“高山仰止”，我觉得还挺贴切。

紧接着便是连续十多天的全年级联赛模拟。我的一试几乎是全班最差的，二三十分就是常态，最差的一次得了十分。学长们的讲课我理解得并没有我想象中好，代数与数论除了显然题目依旧不会。二试每次几乎能且仅能做出几何题，也常常可以在同学们爆零的组合上捞上二十分。这倒是给了我不少自信，让我相信我就是适合学数竞的。

第一次联赛我并没有抱太大的希望，毕竟才学一个月，想着试试水，便去考了。做一试时我兴奋极了，觉得比平时考试简单多了（虽然事实如此）。二试发卷后浏览题目，看出来第一题可以化归为n=2,第三题用抽屉原理。无奈基础太差。第一题n=2做了半个小时写在答卷上后打翻了水杯只好重写一份。接下来的时间也卡在了我当时自认为最擅长的几何题，2,3,4毫无进展。

联赛不出所料地考了84+30，只拿到了二等奖。班上有近一半的同学都去参加了清北金秋营，而我只能在校学习高考内容。那是我第一次感到了不够强的耻辱。我决心要变强。

学校高一上并没有停课的安排，我就自己给自己停课。平时的综合课我都不怎么听，作业也全靠抄（大家不要学我），有空就自己做竞赛。那时似乎有一种狂热在推动着我，我现在还可以翻出我满是草稿的生物书，英语练习册或是化学卷子。

我最先做的是《奥数教程》。当我11月做完高三分册与高二分册后三分之二册后，我感到醍醐灌顶，仿佛已有些融汇贯通。一试上去了，二试上去了，每周的联赛模拟成绩也上去了。几乎每次我都至少三道题，常常四道题。那时候我考联赛模拟有一种酣畅淋漓的快感，似乎每一道题都刚刚在我的能力边界上，每次都可以刚好做出来，且常是与标答不一样的朴素做法。趁着这个势头，我四天做完了小蓝本《数论》，又花了三个月刷完《研究教程》。

整个高一下连带寒假，我的竞赛生活可谓是春风得意。培训时的考试成绩已经在前面说过，在校学长出题我也一直是同级第一，除了一次以外均全级第一。六七八月的联赛模拟最低也有两百分，提前交卷更是常态。那时我整个人沉浸在一种飘飘然的自信当中，仿佛自己就是天选之子。省队不用说，CMO更应该至少就是金牌，怎么也可以去英才班吧。那时，我碰到关系好的同学便说：“叫学长。”

然而生活永远不是你想象般的一帆风顺，总会在想不到的地方对你重拳出击。随着北夏失利只拿了二等约以后，又迎来的我的第二次联赛。

2019年9月8日，那是我的第二次联赛。一试错了一道简单题，心态尚好。二试前两道题很快做出来，可惜过程写得太冗长，写完已经近11点了。第三题是我当时最擅长的数论题，又恰巧在考试前做过类似的数列数论题。先试了一下之前的方法，行不通。又开始正常思考，发现如果结论是对的，那么可以去掉an是整数的条件，重复几遍，依然如此。转头去看第四题，不但没有发现908是个特殊数据，还把题看错了，做了20分钟没有进展。

这时我感到我的脸在发烫。出去用冷水洗了一把脸，回来继续做题，发现第四题题目看错了，那么之前的思路都没用了。我决定死磕我当时最擅长的数论题。然而之前的发现让我直接去掉了an是整数的条件（为了去除干扰），做到最后也没有做出来，只好三四题各写点过程骗分。

考完下午回校交流，大家几乎都做出来了1,2题，平时数论好的人中大概一半做出了第3题，数论不好的倒是都做出来了第三题。于是虽然学长老师们都安慰我还有机会，但是我知道我已经进不了省队了，我知道我辜负了那些关爱我的人们对我的期望。回家路上我便大哭了一场，好在有挚友家人的陪伴，让我稍稍好受了一些。

出成绩了，果不其然，97+100，没有进入省队。班上又有一半多的同学停课准备冬令营了，我又只能回班上综合。我可以想象出他们在竞赛教室里嬉闹或是学习，而我只能默默地将我的综合课本从竞赛楼搬回教学楼，听课，考试，做作业。我曾无数次幻想我在CMO上大显身手，大放异彩，然而现实是我只能在一旁为我的同学鼓掌喝彩。

一年的时间，一年的努力，似乎改变了些什么，也似乎什么也没有改变。政策越来越紧，要是拼到高三也没有省队就会极为被动。当初我最爱说要是高二没进省队我就退役，没想到一语成谶。难道我的竞赛之路真的就要这么结束了吗？

或许是因为不甘，或许是因为骄傲，或许是因为热爱，我对自己说：“不，就算我没进省队，我也要像他们一样，继续前进。”

我把我的作息安排得与省队同学一样。一切都是那么地相似，我又开始自己给自己停课。平时的综合课我又都不怎么听，作业又全靠抄（又要劝大家不要学我）。那时我辗转于全国各地，也曾发泄一般地刷题。当我刷完近几年的IMO SL, ELMO, USA TST,USATSTST，当我把近十年的《走向IMO》正着刷来又反着刷去后，疫情也暂告一段落了。

四月便开始回校上课了，回校自然便开始准备联赛。我反思我上次联赛的失利，除了发挥这个玄学原因，主要还是一试不够强，心态不够好，过程写得太久，以及实力不够强。

老师发的一试题目、自己买的模拟或一试题集，我都一道一道地做完。为了不让心态浮躁，除非赶时间，我也不再提前交卷。准备联赛的间隙也为为了保持状态而做CMO及以上的题目。就这样，在杂七杂八的考试、课程与自习中我终于迎来了我的第三次联赛。

其实第三次联赛我也没有摆脱我一到正式考试过程就写得太细的毛病（后来的CMO也是），不过好在实力到了，水到渠成。一试算是平平稳稳，提前完卷。二试在发卷与开考前的间隙便做出了第三题，又顺着做1,2,4题，没有波折，最后也提前完卷。最后平稳地进入了省队。

最后一年的冬令营不想多说。看似考得不错，但是我还渴望更好。只希望我的竞赛之路不会到此为止，可以给我的高中三年一个圆满的交代。

我要感谢我的父母与教练（江海兵老师），没有他们就没有今天的我。也要感谢我的学长与同学，感谢他们对我的激励与启发。最后也要感谢质心姐姐，给我在这里絮絮叨叨说这么多的机会。谢谢你们！

学习方法

最重要的最先说：一定要有一颗做第一的心。不要沉迷于与同学的讨论中，在实力与思考不到位时那往往就是变向地颓废，浪费时间。

刷书的时候一定要自己一道一道地做，不要跳例题。往往一本书最精华的部分就在它的例题。

做题一定要自己多思考，不要一两个小时做不出来就去看答案（初学时除外，那个时候应该优先搭建基础）。仅仅记答案是没有用的，只有思考与理解才可以提升实力。建议大家准备本子记录自己做的题与方法，以防以后忘了。

外出培训就是外出做题，好的教练就是可以找到好题的教练。好题才是最根本的，一定要有拒绝题目的能力，觉得题目大概率对自己帮助不大就把它跳掉（同理也要有拒绝外出培训的能力）。AOPS（直接搜AOPS即可）是一个很好的网站，上面几乎可以找到你想要的的所有赛题。

一定要学会整理。课上直接整理笔记其实效果并不好，其实那就是默写或是听写。课后建议会在笔记本上抄上自己觉得有启发的题目，再结合记忆理解重新做一遍。考试时的错题也要重做，这样会理解得更深刻。建议整理用笔记本，感觉更流畅，错题用活页本，更容易整理。

最后在分版块之前再聊一下大家耳熟能详的几套书：

《奥数教程》个人很推荐初学者看，建议从高三开始倒着看，大概看到高二解析几何就可以了，理解了的话对于实力很有帮助。前面想看就看。

《研究教程》其实数论和几何比较简单，代数都是朴素方法，个人而言比较喜欢，它的精华在于组合，尤其是图论，一道一道做下来理解了竞赛范围内大部分图论都没有问题了。

小蓝本系列如果要看的话建议就看4、5、6、7、10、13就可以了，但是总体难度不是很大（学长评价CMO难度），如果有一定实力并期望提升的同学可以不用看了。

《命题人讲座》系列主要是拓展视野，十分推荐《初等数论》，这本做完数论也基本没问题了，另外如果还想看的话推荐《解析几何》与《集合与对应》，这两本书很提高思维层次。

《奥赛经典》系列个人并不推荐，上面的题目良莠不齐，做了之后最大的好处就是时常可以看到自己做过的题，成为同学眼里的中华题库。如果想做的话建议就在没题的时候当题集做。

两本PFTB（problems from the book与proofs from the book）没事可也看着玩玩。

其实做题没必要一系列一系列地做，当你认为自己有一定水平的时候就可以做真题了。同时在学完一轮以后就可以看一点大学的书了，你会发现不少题目都有高等背景。一试

一试没啥好说的，跟着学校教练一起练，整理错题，调整状态，一试就可以考好了。代数相信大家先学的肯定是不等式。我觉得不等式先学均值和柯西对于初学者是十分不友好的（当然显然的均值柯西一定要会），我当时就十分不理解均值柯西为什么要这样那样地配系数，学得一头雾水，感觉自己的不等式简直是没救了。

我个人而言觉得初学者最该掌握的应该是暴力方法——即展开与调整（调整的应用范围更广），一是机械简单可谓通法，大多数不等式都可以这样做出来，可以增加自信心。二是可以熟悉代数结构，提高代数素养。你通过这样几个月的展开调整之后代数水平也上来了，这时候再去看均值柯西，大概自己也可以理解一点它的想法了，也可以自己运用了。可以看看《不等式的秘密》，上面有许多想法。

其实数列题目本质上并不是数列题目，只是披了一层数列的皮。把其他方面掌握好了自然也就好了。

多项式也不用刻意练，它是一个很综合的内容，当你水平提升时多项式水平也会提升。

几何其实几何是几个板块里最不看天分的板块，可以通过积累与练习慢慢地抬上来。初学时随便找本教材先熟悉基本定理再自己做题即可。几何水平上来以后不要沉迷于做几何题，但也要保持手感，一天一道即可，长时间不做几何会导致几何水平断崖式下滑（惨痛的教训）。

平时做题时应多想几何法培养几何直觉，但不要鄙视并一定要掌握计算方法（复数，三角，重心坐标等），只要能做出题的方法就是好方法。三角方法的到处都有讲，但是我至今没有看到什么详细讲复数计算的书，如果想知道复数方法就自己问学长把。

重心坐标在一些题目中有奇效，如纯几何吧镇吧神题“根轴IG”就可以用重心坐标快速解决。如果想学习的话《中等数学》2017年第2期李朝晖老师的《基于重心坐标系的平面几何证明的探讨》写的很不错。（《中等数学》可以订着，没事的时候看着玩玩。）

如果没题做可以上纯几何吧，上面不少题都有TST难度。数论数论打基础的话就做之前给大家说的那些书就可以了。数论一定要学会“黑科技”，不要怕使用高级定理，能做就做，能用就用。学有余力时可以看看潘承洞，潘承彪老师的《初等数论》以及PFTB。组合组合其实也不用特别刻意的练，因为在各个板块的难题中或多或少地都会用到组合思想。数学归纳法一定要熟练掌握，掌握了之后很大一部分题目（不限于组合）都可以做出来了。

竞赛内的组合恒等式其实几乎有通法，你只需在等式两边乘上变量再对角标求和即可（如下图）。其实这就是幂级数求和，建议要掌握简单函数的泰勒展开（如果有余力也建议掌握傅里叶展开，在一些题目中有奇效）。

组合几何只需熟练掌握海莱定理以及基本组合技巧几何知识就可以做出竞赛中大部分组合几何题目。竞赛中的图论其实一大部分都可以使用数学归纳法。如果想要提高自己的图论水平的话建议去看《图论导引》（2019联赛第四题关键引理就是其中某一章习题），不用看《命题人讲座》的《图论》，上面的内容基本上在《图论导引》中都有讲。 具体可以在质心物理网查看。

不知不觉又说了这么多，希望能对大家有帮助。