两物体的相对速度公式_量子空间及其完备的万有引力公式和库仑力公式

没有极限的科学

摘　要：本文用4个自然常数的不同组合分别取代了引力常数和库仑常数，进而提出了离散的量子空间景观，以作为影响物质存在的物理背景。借助于该物理背景，推导出了完备的万有引力公式和库仑力公式，使这两种力在近距离时呈指数衰减收敛于零，在远距离时还原为经典的力学公式，从而为建立统一的作用力提供了一个新的视角。

一、引言

从文艺复兴时期开始，物理学借助数学和实验获得了前所未有的发展。在这一时期，人类认识世界的进步表现为获得了一系列物理公式和自然常数，并由此构成了数百年来物理学发展的里程碑。比如，万有引力公式、库仑力公式、光速和普朗克常数等。然而，由此也给人类的认识提出了新的课题。比如，如何消除作用力公式在距离趋近于零时的无穷大，如何统一各种不同的作用力，如何理解各种自然常数的物理意义并在它们之间建立起有机的联系。

二、用自然常数的组合取代作用力的系数

近代物理学的进步表现为相对论和量子论的建立。前者提出了光速不变原理，依托的是光速c；后者提出了测不准原理，依托的是普朗克常数h。这说明自然常数c和h是描述自然界的两个重要参数，在任何物理公式中都应该看到它们的身影。除此之外，还有两个自然常数在物理公式中也是必不可少的，它们是τ₀和r₀。前者的量纲是秒，后者的量纲是厘米，都是关于空间的参变量。它们具体的物理意义将在下一节探讨。于是，我们有4个基本的自然常数，它们是c、h、τ₀和r₀，其中τ₀和r₀为待定常数。

经典的万有引力公式和库仑力公式为

F_引 = Gm+²/r+² (1)

F_电 = Kq+²/r+² (2)

其中，引力常数G为6.673×10^-11Nm+²/kg+²，库仑常数K为8.988×10⁹Nm+²/C+²。G和K都是实验值，它们各自有着复杂的量纲和远离1的数值，而且在两者之间看不出有什么内在的联系。然而，由于万有引力和库仑力都是远距离作用力，都是借助于空间来实现的，所以它们的作用力系数必定是由自然界的基本常数构成的。因此，我们用自然常数的不同组合来取代G和K，使两个表面上不相干的力建立起内在的联系。

根据量纲一致原则，利用已有的4个基本常数，可以建立以下方程组

{ G = r0+⁵ / hτ0+³(3)

K = hc+² / 2π A+²r₀τ₀ (4)

其中，A为单位电流安培，其数值等于1。

对于式(4)，有两点需要说明：

第一，由于原来的库仑常数与导磁率相关，而导磁率是用A²定义的，所以原来的库仑常数隐含着A²。于是，为了使新的库仑力公式保持原有的量纲，在新的库仑常数中出现了A+²。

第二，在新的库仑常数中引入了2π。这是因为库仑力是有方向的矢量，需要用约化普朗克常数h/2π取代h，这种做法在量子电动力学中是普遍采用的。

由式(3)和式(4)解出的两个待定自然常数为

τ₀ = 〔h+⁴c+¹⁰/G(2πK)+⁵A+¹⁰〕+^1/8 = 3.621×10^-12 s

r₀ = 〔Gh⁴c+⁶/(2πK)+³A+⁶〕+^1/8 = 2.913×10^-14 cm

三、自然常数τ₀和r₀的物理意义

计算出了τ₀和r₀的数值，我们需要分析τ₀和r₀的物理意义，以验证上述4个自然常数的组合取代作用力常数的合理性。由于万有引力和库仑力都是远程力，是借助于空间产生的力，因而由上述两个力的系数解出的自然常数τ₀和r₀必定是描述空间状态的物理参数。

关于空间，最直接的线索是宇宙的微波背景辐射，其波长与能量分布的关系符合普朗克的黑体辐射公式：

E = (2πhc+²/λ+⁵)/(e+^hc/λkT - 1) (5)

对式(5)中的λ进行微分，并令其结果等于零，就得到了温度与多数辐射(量子)波长的对应关系，即

5 = e+^x (5 - x) (6)

其中，x = hc/λkT = h/τkT = 4.965，T为绝对温度，τ为频率的倒数。将τ₀值代入x，得到的相应温度为2.67K，现在公认的微波背景温度是2.69K，在实验误差的范围内两者是吻合的。

由于观测到的微波背景辐射分布符合黑体辐射公式，所以空间是一个巨大的黑体，其中充满着电磁振子，微波背景辐射就是由这些电磁振子构成的，τ₀是电磁振子的弛豫时间。于是，我们将充斥于空间的这些电磁振子叫作空间量子，把充满空间量子的这一物理背景定义为量子空间。自然界是统一的，应该有一种东西把光、万有引力和库仑力等有机地联系起来。这种东西就是离散的、由普朗克常数h定义的空间量子，光、万有引力和库仑力都是依赖于空间量子生成和传播的。所以，借助引力常数和库仑常数，可以统一地解出量子空间的参变量τ₀和r₀。

由于光子也是量子，只是其能量高于空间量子且可以通过激发空间量子产生(光电效应)，所以光子是空间量子的激发态，在本质上它们是相同的；又由于光子可以生成物质(或物质可以湮灭为光子)，所以物质是空间量子的封闭体系，是由两个以上的高能光子组合而成的。这样我们就获得了一个有机的自然景观，量子根据其不同的状态将空间、能量和物质统一了起来。基态量子构成空间，激发量子成为能量、场、光和中微子，封闭量子组成物质，而各种相互作用力是量子的这三种状态相互联系、相互作用和相互转化的具体反映，确切地说，是通过基态量子的不对称碰撞实现的。

我们已经知道了τ₀的物理意义，它是空间量子(基态量子)的能量参数(类似海水与波浪的关系，基态量子的能量比其随机涨落的微波背景辐射的能量略低一些)。那么r₀的物理意义是什么呢？既然r₀是同τ₀一起被解出来的，是长度量纲，而且显然与离散的量子空间有关，一个合乎逻辑的答案是，r₀是空间量子间的平均距离。

如果令N为量子空间的密度，则N = r0^-3 = 4.045 ×10+⁴⁰个/cm³。根据已有的核物理知识和r₀的物理解释，r₀应略小于最小原子核半径，该半径约为3×10^-14cm。因为，当作用距离小于r₀时，由于作用力会变小(失去了空间压强)和作用粒子的波动性增大(根据测不准原理)，破坏了核子内部的平衡。所以，在现实世界中不存在半径小于r₀的原子核。由式(3)和式(4)解出的r₀为2.913×10^-14cm，恰好处于最小原子核半径的下限。这说明我们对r₀的物理解释是适当的，表明在万有引力、库仑力和空间之间确实存在着内在的联系和统一的机制。

四、完备的万有引力公式和库仑力公式

除了作用力系数缺乏内在的联系，经典的作用力公式还有一个严重的问题，即当距离趋近于无穷小时，力趋近于无穷大，从而使能量也趋近于无穷大。在现实世界中，无穷大是不可思议的。因为，任何具体的事物都是有限的，都会受到具体定义的限制，只有抽象的概念才是无限的。根据历史的经验，一旦物理公式在某处出现无穷大，就说明该物理公式具有局限性，是不完备的，只是远离该处条件下的近似公式。比如，早期的辐射公式有两个，它们分别适用于光的红外端和紫外端。最终，由普朗克建立的黑体辐射公式将这两个公式联系了起来，它们分别是黑体辐射公式在红外端和紫外端的近似表达式。

经典的万有引力公式和库仑力公式也属于这种近似公式。根据这两个公式，物体会无限制地相互接近并释放出无穷多的能量。这是非常荒谬的。因为，两个粒子所能释放的能量，最多等于它们的质量之和。当释放出这些能量时，其自身也就消亡了。

所以经典的作用力公式是远离r₀时的近似公式，我们需要利用r₀来还原作用力公式。由于万有引力公式和库仑力公式在相对于距离变化的形式上是完全相同的，如果我们得到了完备的万有引力公式，也就获得了完备的库仑力公式。所以，我们借助离散的量子空间这一物理背景，先来还原万有引力公式。

为了消除近距离的无穷大，并在远距离的条件下，仍与经典的万有引力公式相吻合，完备的公式必须满足以下两个边界条件。

边界条件1：当r ＞ r₀时，随着两个物体间的距离增大，引力相对于距离的变化曲线将逐渐与经典的万有引力公式相一致。

边界条件2：当r ＜ r₀时，随着两个物体间的距离减小，引力的强度将迅速趋近于零。

由于物体是由高能量子组成的封闭体系，且两物体外侧的封闭性大于两物体内侧的封闭性(因为位于内侧的空间量子受到两个物体的扰动，具有较高的能量)，所以两物体外侧量子空间的压力总大于两物体间量子空间的斥力，从而表现为引力。于是，根据r₀的物理意义，我们可以理解上述两个边界条件。当r＜r₀时，随着两物体间的距离逐渐接近，量子空间的密度会急剧减小，失去了空间压力，引力也就随之消失了，符合边界条件2；反之，当r＞r₀时，随着两物体间的距离增大，两物体周围的量子空间受到的扰动将会减小，而且两物体内外侧量子空间在能量上也更加接近，所以作为压力差的引力会逐渐减小，使引力相对于距离的强度变化与经典的万有引力公式相一致，符合边界条件1。

根据这两个边界条件，我们推导万有引力公式。

由于量子空间的压力与面积相关，所以令x = (r₀/r)+²。

由边界条件2，当r＜ r₀ 时，该范围内量子空间的能量密度(压强)降低，使外侧空间的压力F_外随之减小。设量子空间的能量密度(压强)与F_外成正比，与dF_外/dx成反比，于是有

dF_外/dx = -F_外

所以 dF_外/F_外 = -dx

两边积分 ln F_外 = -x + C₁

F_外 = C e^-x

用同样的方法，我们可以得到内侧空间的斥力F_内。只是，由于同时受两个物体的影响，该力相对于x的变化率为其自身的2倍：

F_内 = C e^-2x

根据刚才对万有引力的定义

F_引 = F_外 - F_内 = C(e^-x - e^-2x) = C e^-x (1 - e^-x)

由边界条件1，我们可以确定常数C

C = Gm+²/r0+²

于是，万有引力和库仑力的完备公式分别为

F_引 = Gm+²/r0+² × e^-x (1 - e^-x) (7)

F_电 = Kq+²/r0+² × e^-x (1 - e^-x) (8)

当x = (r₀/r)+² ≪ 1时，根据麦克劳林级数展开，有

e^-x = 1 - x + x+²/2 - … ≈ 1 - x ≈ 1 (9)

将式(9)分别代入式(7)和式(8)，可以在远距离的条件下化简为经典的万有引力公式和库仑力公式。反之，当x = (r₀/r)+² > 1时，根据新的完备公式，上述两个力均呈指数衰减，避免了无穷大。

把式(3)和式(4)分别代入式(7)和式(8)，得到的万有引力公式和库仑力公式为

F_引 = r0+³m+² / hτ0+³ × e^-x (1 - e^-x) (10)

F_电 = hc+²q+²/2πA+²r0+³τ₀ × e^-x(1 - e^-x) (11)

在式(10)中只有3个自然常数，缺少光速c。这是因为，光速c隐含在质量m中。 由于物质是高能量子的封闭体系，是能量包，所以质量只是一个复合概念，是由量子空间和被封闭的能量共同决定的。因此，我们需要将两者分离，将m=E/c+²代入式(10)。

在式(11)中多了单位电流A，这是因为其与电荷的定义相关，应归并到电量中，将电磁时间T_q= q/A代入式(11)。于是，万有引力公式和库仑力公式的最终形式是：

F_引 = (r0+³ /hc+⁴τ0+³) × E+² × e^-x(1 - e^-x) (12)

F_电 = (hc+²/2πr0+³τ₀)×T_q+² × e^-x(1 - e^-x) (13)

这样就得到了两个用4个自然常数的组合作为作用力系数且完备的公式。不过，这两个新公式的系数看起来比较繁杂，可以把它们进一步归并为

F_引 = (E_hλ0+⁴) ^-1×E+² × e^-x(1 - e^-x) (14)

F_电 = (E_h/2π × c+²)×Tq+² × e^-x(1 - e^-x) (15)

其中，E_h = h/τ₀r0+³为量子空间的能量密度；E_h/2π = E(_h/2π)为量子空间在矢量方向上的能量密度；λ₀ = cτ₀为空间量子的波长。从式(14)和式(15)中我们看到，作用力的大小是由三个因素决定的，它们是作用背景(空间)、作用对象(物体)和作用条件(距离)。

上述两个公式既有区别，又有联系。它们的区别在于式(14)是无方向的标量作用力，其形成的场为散度场；而式(15)是有方向的矢量作用力，其形成的场为旋度场；它们的联系表现在作用力的系数(即作为物理背景的空间部分)是由4个相同的自然常数进行不同的组合构成的。

五、量子空间及其参数的应用

两艘并排行驶的轮船会产生吸力，飞机由于机翼形状的上下不对称，在其快速运动时会产生升力。上述两个现象，只有在考虑到它们的物理背景即海水和空气时，才是可以理解的。同理，借助于量子空间这一物理背景，可以帮助我们理解许多原来难以解释的物理现象。这方面的例子有很多，在此只选其中的几个，以起到抛砖引玉的作用。

1. 为什么光的传播速度比任何物体的运动速度都大？

空间是由离散的量子构成的，物质是量子的封闭体系。当物体高速运动时空间效应会变强(类似赤脚滑水运动)，物体速度的提高不仅需要很大的能量，而且物体的封闭性会随空间效应的增大而减小直至封闭性为零，使物体还原为离散的量子。所以，物体在达到光速之前就已经解体了。

2. 为什么光速不变？

光速不变有两个含义，其一是相对于不同速度的量子空间具有相同的速度；其二是光子的能量变化与光速无关。这是因为，由于量子空间的存在，任何物体的外在能量(不破坏结构的前提下，仅由自身状态的变化所产生的能量)都是由其动能和势能组成的，即

E_外 ＝ E_动 ＋ E_势

由于普朗克常数h的量纲为角动量，其中含有质量且大于零，而且普朗克常数h是光子的本征参数，即是光子的角动量，所以光子也是有静质量的，只是非常小。于是，尽管光速很大，但是光子的动能相对于光子的势能仍然非常小，以至于光子的能量变化主要是其势能的变化。此时，光速的变化相对于巨大的光速是微不足道的，表现为光速与频率无关。又由于光速被用于维持空间的势能，所以光速是相对于量子空间的速度，其具体的大小主要取决于量子空间的密度，表现为光速相对于量子空间的不变性。作为补偿，光子的动能和势能会发生相应的转换。作为对比，质量很大的宏观物体在低速情况下，由于动能远大于势能，所以其能量变化主要是动能的变化，表现为速度的增减。而微观粒子介于光子和宏观物体之间，其动能与势能相近，能量变化时动能和势能都会产生比较明显的改变，具有显著的波粒二象性。

3. 为什么包括光子在内的所有物体都具有波动性？

一方面，量子空间是离散的，作为物理背景，会对存在于其中的所有物体产生不对称的碰撞(类似布朗运动)，使光子和微观粒子呈现出波动性(对宏观物体的不对称碰撞非常小，可以忽略不计)；另一方面，光子及微观粒子在运动的过程中也会影响空间量子，与量子空间形成相互的扰动，在一定的条件下可以产生干涉和衍射现象。

4. 为什么普朗克常数和测不准原理具有普遍意义？

由于普朗克常数是空间量子的本征参数，确切地说是空间量子的角动量，所以哪里有空间量子的存在，哪里就有空间量子的影响，并会看到普朗克常数的身影。空间概念不单是指容纳物体的几何框架，它还是影响物体存在的背景环境。由于量子空间的影响是通过众多空间量子的无序碰撞实现的，所以其影响的结果具有一定的概率性，是不确定的。这种不确定的存在环境就是导致测不准原理的根本原因。由于物体的运动和能量的变化实质上都是通过交换空间量子或改变空间量子的状态来实现的，所以刻画空间量子的普朗克常数在许多物理公式中都是普遍存在的。

5. 如何理解迈克尔逊-莫雷实验的零结果？

以太空间是两个世纪前人们对空间的猜想。那时的自然观是机械的，认为每一个以太都像钉子一样一动不动地钉在空中，所有以太都是一成不变的，它们在空间组成了一个静止的立体方阵。当人们用迈克尔逊-莫雷实验来求证这个荒谬的想法时，得到的结果是否定的。不过，该实验只是否定了机械的以太空间，却没有否证离散的量子空间。根据量子空间景观，光速是维持光子势能的物理参量，是相对于具体的量子空间而言的。当光子由光源进入空间时，传播光子的量子空间发生了变化，由光源内的量子空间进入光源外的量子空间。于是，光速有一个由相对于光源以速度c运动到相对于空间以速度c运动的转变过程，这个转变过程是需要时间的，表现为光速变换滞后于光子进入光源外的量子空间。所以，迈克尔逊-莫雷实验的零结果是因为该实验的臂长太短，在1m的距离内光子来不及实现其速度的转换。

6. 量子的半径有多长？

已知计算气体分子半径的公式为

r_半径 = (1/2+^5/2πNr_自)+^1/2 (16)

其中，N为单位体积内的分子个数。由于量子空间更为空旷，量子可以像气体分子一样都被视为弹性碰撞的粒子，所以该公式同样适用于量子。将空间量子的自由程r_自= cτ₀ 和密度N = r0^-3代入式(16)。于是，量子的半径为

r_量 = (1/2+^5/2πNr_自)+^1/2 = (r0+³/2+^5/2πcτ₀)+^1/2 = 3.57×10^-21cm

7. 为什么不同粒子的电荷大小完全一样？

要理解电荷的不变性，我们必须先了解T_q的含义及其不变性。根据我们对库仑力的认识，库仑力是由于两粒子同向自旋使其内侧的压强小于外侧的压强而产生的，所以T_q应与粒子的角动量以及空间量子在矢量方向上的能量相关，且根据量纲一致原则，有

T_q ＝ mrv/E₀ ＝ mrv/(h/τ₀)

其中，J＝mrv/2π为粒子的角动量，h/2πτ₀为空间量子在矢量方向上的能量。根据上述公式，只要基本粒子具有角动量的不变性，就可以使所有基本粒子的电荷完全相同。于是，我们可以将电荷的不变性归结为基本粒子角动量的不变性。由于基本粒子的角动量J与普朗克常数h的量纲是一样的，所以我们有理由相信，它们分别是基本粒子和量子的角动量，都具有相对于自身能量的不变性。这说明各种基本粒子只是同一封闭体系的不同激发态，基本粒子的角动量J只是一个相对于量子空间的参变量。于是，电量可以由已知的物理参量来表示。根据奥卡姆剃刀原则，不再需要电量这一物理量了，因为电量并不是基本的物理量。根据计算，基本粒子的角动量J为

J = mrv/2π = T_q×(h/2πτ₀) = q/A×(h/2πτ₀) = 4.656×10^-35g·cm+²/s

于是，库仑力公式可以归并为

F_电 = P_空×S_电×e^-x (1 - e^-x)

其中，P_空为量子空间在矢量方向上的压强，等于量子空间在矢量方向上的能量密度(E_h/2π)；S_电为电荷感受空间压强的等效面积，等于基本粒子的角动量与空间量子在矢量方向上动量比值的平方，即

S_电 = (J/P₀)+² = (mrvcτ₀/h)+²

8. 电子和质子半径的下限是多少？

在所有带电的基本粒子中，电子的质量最小，自旋速度最大。由于受到光速的限制，电子的自旋速度应小于或等于光速c。所以，根据角动量的不变性，电子半径的下限是

r_电 = 2πJ/m_e v ≥ 2πJ/m_ec ≥ 1.07×10^-17cm

作为封闭体系，基本粒子的能量是分布在球面上的。所以，基本粒子的r与m+^1/2成正比，基本粒子的r与v+^1/3成反比。于是，质子半径的下限为

r_质 = r_电×(m_p/m_e)+^1/2 ≥ 4.58×10^-16cm

9. 为什么寻找不到暗物质和暗能量？

由于存在量子空间，引力源的旋转会使其附近的量子空间部分地随之转动，其转动的等效速度在一定的范围内近似为常数。而离心速度是相对于量子空间而言的，于是有

V_离 = V_表 - V_空

当运动的天体远离引力源时，离心速度迅速降低，使其表观速度近似等于空间转动的速度，不再随距离的增大而减小。由此可以解释天体偏离万有引力的运动现象，不需要特设暗物质。至于暗能量，实际上就是离散的量子空间，其能量密度约为10²⁶erg/cm³，约合100kg/cm³，远大于空间所含物质的密度。通常，我们之所以感受不到如此巨大的空间能量，只是因为量子太小和物质太空。然而，我们日常熟视无睹的各种物理现象，无一不是这一空间能量在不同极限情况下的具体反映。

10. 宇宙大爆炸时“奇点”的半径有多大？

根据一维的物质观，宇宙的膨胀与收缩只是物质的膨胀与收缩。而且，根据原有的万有引力公式，作用距离可以趋近于零，作用力为无穷大。于是，没有任何力量可以阻挡物质无限收缩，收缩为一个没有空间的“奇点”。由此，会产生以下三个疑问。

疑问1：在没有空间的“奇点”内，如果存在物质，那么物质如何存在且以光速或大于光速的速度膨胀？

疑问2：在没有空间的“奇点”内，如果不存在物质，那么“奇点”内还有什么？

疑问3：是什么导致宇宙反转，使宇宙由收缩变为膨胀？

根据量子空间景观，宇宙的膨胀与收缩是量子空间的膨胀与收缩。作为封闭体系的物质，只是宇宙膨胀的过程中产生的副产品，会随着宇宙的进一步膨胀或收缩而消失。所以，宇宙的膨胀与收缩并不取决于万有引力，而是取决于宇宙内外部能量的对比。除此之外，宇宙的收缩还会受到量子体积的限制。既然宇宙是一个巨大的封闭体系，其中所含的量子数目是不变的。于是，“奇点”的半径为

R_奇 ≥ (r_量/r₀) R_视界 ≥ 1720光年

其中，R_视界为140亿光年。当“奇点”内充满了离散的量子，且离散的量子间的间距为零时，宇宙就再也无法收缩了。于是，宇宙产生了反转，以大爆炸的方式开始了新一轮的膨胀旅程。

六、结论和展望

作为物理背景，将量子空间引入我们的视野。物理世界的高速效应(狭义相对论效应)、微观效应(量子力学效应)以及宇观效应(广义相对论效应)，都是量子空间在不同极限的情况下所产生的效应。正是这些不同于经典力学的新效应，促使我们用空间观取代物质观，以实现格式塔的转换。

本文借助于自然常数和量纲分析，做了以下几项工作：

1. 揭示了引力常数和库仑常数的精细结构，它们分别是4个自然常数的不同组合，从而进一步提出了量子空间景观。

2. 得到了完备的万有引力公式和库仑力公式，从而避免了万有引力公式和库仑力公式在近距离的无穷大。

3. 借助于量子空间这一物理背景，解释了一些迄今为止现代物理学难以理解的问题。

通过上述工作，万有引力和库仑力在量子空间这一物理背景下获得了完备的统一。而且，由于作用力的系数由原来的实验常数变更为量子空间的参量，从而为研究宇宙的演化和进一步统一各种相互作用力提供了新的视角。