之前的文章中我们讨论过关于线性回归的问题，现在我们来学习一下，当预测的变量y为离散值时候的分类问题。
分类
下面给出几个分类的例子：
- 邮件： 垃圾邮件、非垃圾邮件；
- 在线交易： 欺诈、非欺诈；
- 肿瘤： 良性（不是恶性）、恶性
很显然这几个例子的结果只有两个，是或者不是。那么我们可以假设结果yin{0,1}。这里的0我们可以当做非xx的类型，比如良性肿瘤，而1则可以当做是确认的分类，比如是恶性肿瘤。当然经常我们遇到的分类问题可能不止是或否两种结果，可能$y\in{0,1,2,3}$。
接下来我们来用肿瘤是否恶性的例子来看看分类问题，比如下图：
图中的叉号就是我们的数据样本，横轴为肿瘤大小，纵轴为是否为恶性肿瘤。如果用我们之前学习的线性回归方程，则可以假设$h_\theta(x) = \theta^Tx$。可以得出图中的倾斜的斜率高一点的那一条直线。为了更好的做出预测，我们可以设定当$h_\theta(x)>=0.5$时，认为$y=1$,当$h_\theta(x)<0.5$时，认为$y=0$,如此看来，假设我们在x轴正方向远处还有一点如图中所示，我们的假设函数也是满足实际情况。但如果我们的假设函数设置的如图中斜率偏低的那一条呢。很显然和数据集中的数据发生了误差。所以线性回归在分类问题中并不是最适合的方法，而且如果使用线性回归，我们得出的$h_\theta(x)$是可以大于1或者小于0。而接下来要讨论的logistic分类算法的值域大小是在[0,1]之间的。
假设函数
在线性回归中，我们的假设函数公式是$h_\theta(x) = \theta^Tx$，那么在分类问题中，我们定义$h_\theta(x) = g(\theta^Tx)$,这里的函数g的定义为$g(z)=\frac{1}{1-e^{-z}}$,$z=\theta^Tx$,则
$$ h_\theta(x) = \frac{1}{1-e^{-\theta^Tx}} $$
这个函数被称作S型函数（Sigmoid function）或逻辑函数（Logistic function）。函数的图像如下图所示：
横轴为z，纵轴为$g(z)$。显然当z趋向于正无穷时，$g(z)$趋向于1，z趋向于负无穷时，$g(z)$趋向于0。图像在（0，0.5）点于纵轴相交。我们现在要做的依然是选择合适的参数$\theta$来拟合数据。
这里我们将$h_\theta(x)$的输出假设为当输入为x时，y=1时的概率。从概率上的角度来描述可以表达为$h_\theta(x) = P(y=1|x;\theta)$。因此我们可以得到如下公式：
$$ P(y=1|x;\theta) + P(y=0|x;\theta) = 1 \\ P(y=1|x;\theta) = 1 - P(y=0|x;\theta) $$
决策边界(decision boundary)
上述我们说过，可以假设当$h_\theta(x)>=0.5$时，认为$y=1$,当$h_\theta(x)<0.5$时，认为$y=0$。根据逻辑函数的图像，我们得知，当z>0时，$h_\theta(x)>=0.5$，则$\theta^Tx>=0$,同样的$h_\theta(x)<0.5$时$\theta^Tx<0$。
这里可以举一个例子，假设$h_\theta(x) = g(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2)$中的$\theta_0,\theta_1，\theta_2$分别等于-3，1,1。则$\theta = \begin{bmatrix} -3\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,那么y=1时，即代表$h_\theta(x) = g(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2) >= 0.5$,即$\theta^Tx = -3+x_1+x_2>=0$,相反y=0时，$\theta^Tx = -3+x_1+x_2<0$,那么我们可以得出这两个不等式的分界线即$x_1+x_2=3$。
在这条直线的上方代表y=1的部分，下方则代表y=0的部分，而这条直线就被称作决策边界。
下面再继续看一个复杂点的例子，这里额外添加两个特征$x_1^2，x_2^2$。$h_\theta(x) = g(\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2\theta_3x_1^2+\theta_4x_2^2)$。假定$\theta = \begin{bmatrix} -1\\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$,则可得出若$-1+x_1^2+x_2^2>=0$,则y=1,若$-1+x_1^2+x_2^2<0$,则y=0,那么显然，这里的决策边界的图像是$x_1^2+x_2^2 = 1$。
当然随着假设函数的复杂程度变化，决策边界也会各有不同。后面我们将会学习如何自动选择参数$\theta$,使我们能在给定一个训练集时，根据数据自动拟合参数。
以上，为吴恩达机器学习第三周分类和逻辑回归模型部分笔记。