欧拉降幂

（本篇没有涉及公式的推导）

欧拉函数：

就是对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数记做φ(n) 。

欧拉函数的通式：

φ(n) = n * ( 1 - 1 / p1) ( 1 - 1 / p2 ) ( 1 - 1 / p3 ) * ( 1 - 1 / p4 )……( 1 - 1 / pn )

其中p1,p2……pn为n的所有质因子，n是不为0的整数。（唯一和1互质的数就是1本身）。

所以根据通式可以打出以下代码：

ll eular(ll n)
{
     
    ll ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
     
        if(n%i==0)
        {
     
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n=n/i;
        }
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

欧拉定理：

在数论中，欧拉定理，（也称费马——欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n和a为正整数，且n，a互质，则：

欧拉降幂

第一个要求a和p互质，第二个和第三个是广义的欧拉降幂，但要求b和φ( p)的关系 。

模板：

求A^BmodC

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e6+10;
char b[N];
LL a,c;
LL quick_pow(LL x,LL y,LL z)
{
     
    LL ans=1;
    while(y)
    {
     
        if(y%2) ans=ans*x%z;
        x=x*x%z;
        y=y/2;
    }
    return ans;
}
LL phi(LL n)    //求欧拉函数
{
     
    LL ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
     
        if(n%i==0)
        {
     
            ans=ans-ans/i;
            while(n%i==0)
                n=n/i;
        }
    }
    if(n>1) ans=ans-ans/n;
    return ans;
}
int main()
{
     
    cin>>a>>b>>c;
    int len=strlen(b);
    LL p=phi(c);
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<len;i++)
        ans=(ans*10+b[i]-'0')%p;
    ans=ans+p;
    cout<<quick_pow(a,ans,c)<<endl;
    //system("pause");
    return 0;
}

经典扩展

（洛谷）P4139 上帝与集合的正确用法

题目传送门：

上帝与集合的正确用法

题目大意：

首先我们可以根据扩展欧拉定理：

得到：

很显然这是一个递归的式子，边界条件为p=1，此时式子的值为0。而对于φ§，我们可以线性筛处理。

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e7+10;
int n,tot,p[N],phi[N];
bool flag[N];
void pre()
{
     
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
     
        if(!flag[i])
        {
     
            p[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*p[j]<N;j++)
        {
     
            flag[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
     
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            else
                phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
}
LL quick_pow(LL x,LL y,LL mod)
{
     
    LL ans=1;
    while(y)
    {
     
        if(y%2) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y=y/2;
    }
    return ans;
}
LL solve(int p)
{
     
    if(p==1) return 0;
    return quick_pow(2,solve(phi[p])+phi[p],p);
}
int main()
{
     
    pre();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
     
        int p;
        scanf("%d",&p);
        printf("%lld\n",solve(p));
    }
    //system("pause");
    return 0;
}