概率论与数理统计---分布函数

#前言#
前言部分讲了为什么使用CSDN记录数学笔记和为什么要学《概率论与数理统计》的原因，和实际学习内容没有关系。

之前学线性代数的时候写的笔记都在纸质的笔记本上，在纸质上面想查询比较麻烦，只能一页一页翻。现在想记在电脑上，后续如果想看纸质的还可以打印出来，所以后来在word上记过一段时间,word里的数学公式编辑器虽然好用，但是使用鼠标点起来太累。后来想用Latex，Latex编辑公式的确好用，但它不支持中文，后来又想到了CSDN的Markdown，感觉比较好的结合了中文和Latex的数学编辑功能，但其缺点是只能在线写，不过还好，可以导出到本地，并从本地导入。所以选择了在CSDN使用Markdown记录数学学习的笔记。

至于为什么要 学习《概率论与数理统计》，那是因为在学机器学习时，在看完吴恩达老师的第三课“过拟合和欠拟合”后，发现需要用到最大似然估计，根本听不懂，所以开始学习概率论与数理统计。

数学知识用自己的语言去描述真的好难，而且还要理解的非常透彻后才可能表达出来，所以相关概念只能按部就班先记下来，供后续学习参考使用。

由于我是学到“第3章随机变量及基分布”时才发现自己学不下去了，好多概念还没有理解，所以从这章的分布函数开始记笔记，如果分布函数之前的章节的内容后续有必要的话再补充。

基本概念

• 随机试验
  具体有如下特点的实验称为随机试验，简称为试验，以字母$E$表示。

1. 试验可以在相同条件下重复进行；
2. 试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先已知的；
3. 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但空间出现哪一个结果，试验前不能确切预言。

• 基本事件 样本点 样本空间
  随机试验的每一个可能结果称为基本事件，也称为样本点 ，用$e$表示。全体基本事件的集合称为样本空间，记为$S$。
• 随机事件
  在试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件，以字母$A,B,C,\dots$表示。
• 随机变量
  设$E$是随机试验，它的样本空间是$S$。如果对$S$中的每个基本事件$e$，都有唯一的实数值$X(e)$与之对应，则称$X(e)$为随机变量，简记为$X$.
• 离散型随机变量
  只能取有限个值或可列无穷多个值的随机变量$X$称为离散型随机变量。
  #分布函数#
  对于任意实数$x_1<x_2$有$$P(x_1<X\le x_2)=P(X\le x_2)-P(X\le x_1)\text{\hspace{1em}(1)}$$
  给定一个随机变量$X$，称定义域为$(-\infty ,+\infty )$的实值函数$$F(x)=P(X\le x)\text{\hspace{1em}(2)}$$
  为随机变量$X$的分布函数。也记为$F_X(x)$。
  $其实这里只要明白了分布函数其实就是随机变量X小于等于某个值的概率就可以了。$

事件$x_1<X\le x_2$的概率可写成$$P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)\text{\hspace{1em}(3)}$$
$可画坐标图理解3式。$
这样概率就可以和分布函数对应上了，而分布函数是一个普通的函数，可以使用数学分析工具(比如微积分)来研究随机变量。

分布函数具有如下性质:

1. $0\le F(x)\le 1(-\infty <x<+\infty )$
2. $F(x_1)\le F(x_2),x_1<x_2,即F(x)是单调非减的$
3. $$\begin{gathered} F(-\infty )={\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0 \\ F(+\infty )={\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1 \end{gathered}$$
4. $F(x^+)=F(x),即F(x)是右连续的 $

第1条性质很好理解，分布函数即是随机变量$X$小于等于$x$的概率，而概率肯定是在$0$和$1$之前的。
第2条性质，理解分布函数的性质就能理解了，因为分布函数是小于等于$x$的概率，所以如果$x_1<x_2$，那么$x_2$的概率肯定不会比$x_1$的概率小，等于是可能的，因为如果落在$x_1$和$x_2$之间的概率如果为$0$的话，那么$P(X\le x_2)=P(X\le x_1)$，而$F(x_1)=P(X\le x_1),F(x_2)=P(X\le x_2)$，所以 $F(x_1)\le F(x_2)$。
第3条性质好理解。
第4条可以看书上$P_{56}$的例3.3.1，如图上所示其实只要观注跳跃点即可，而跳跃点的概率是落在右边区域范围内的，所以是右连续。

可以看书本$P_{56}\sim P_{57}$三个例子加深对分布函数及其性质的理解。

#本文所需的其它知识#
高等数学中的正无穷、负无穷、连续和极限概念。

参考书籍#

《概率论与数理统计（第二版）》哈尔滨工业大学数学系 王勇 主编

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