献给杭电五十周年校庆的礼物

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1290 献给杭电五十周年校庆的礼物

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 796 Accepted Submission(s): 512

Problem Description 或许你曾经牢骚满腹 或许你依然心怀忧伤 或许你近在咫尺 或许你我天各一方 对于每一个学子 母校  永远航行在 生命的海洋 今年是我们杭电建校五十周年，这是一个值得祝福的日子。我们该送给母校一个怎样的礼物呢？对于目前的大家来说，最好的礼物当然是省赛中的好成绩，我不能参赛，就送给学校一个DOOM III球形大蛋糕吧，这可是名牌，估计要花掉我半年的银子呢。 想象着正式校庆那一天，校长亲自操刀，把这个大蛋糕分给各地赶来祝贺的校友们，大家一定很高兴，呵呵，流口水了吧... 等一等，吃蛋糕之前先考大家一个问题：如果校长大人在蛋糕上切了N刀（校长刀法极好，每一刀都是一个绝对的平面），最多可以把这个球形蛋糕切成几块呢？ 做不出这个题目，没有蛋糕吃的！ 为-了-母-校-，为-了-蛋-糕-（不是为了DGMM，枫之羽最会浮想联翩...），加-油-！

Input 输入数据包含多个测试实例，每个实例占一行，每行包含一个整数n(1<=n<=1000)，表示切的刀数。

Output 对于每组输入数据，请输出对应的蛋糕块数，每个测试实例输出一行。

Sample Input 1 2 3

Sample Output 2 4 8

 

直线分平面：

可以这么理解：



        第n条直线和n-1条直线相交，也就是最多有n-1个交点，最多被分成n段，每一段二分其所在的区域，所以最多多了n个区域，



        其递推公式即为：f(n)=f(n-1)+n；



        递推一下，就得到f(n)=1/2*(n*n+n)+1；

 平面切球：

可以这么理解：



       若要第四个平面将空间分为最多部分，就要它与前三个平面都相交，且交线不重合。则第四个平面与前三个平面都相交，交线不重合，有三条交线，这三条交线都在第四个平面内，那么要想使这四个平面分空间为最多部分，就要使这三条交线分一个平面为最多部分。显然，三条直线分一个平面最多为7部分。所以，四个平面分空间数最多为：三个平面最多分平面数加上三条直线最多分平面的部分数：8+7=15。



推广到一般情况，n个平面最多可分空间为f(n)部分，第n个平面与n-1个平面分别相交且交线不重合，问题转化为n-1条直线最多将一个平面分成几部分。



递推公式即为：g(n)=g(n-1)+f(n-1)；



把上面的公式递推一下，就得到通项公式：g(n)=(n*n*n+5*n+6)/6；

 另外，这类问题一般都有固定的公式，告诉大家一个技巧：二维的一般是f(x)=a*x^2+b*x+c,三维的一般是f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d. 用带定系数法求出各个系数就行了。

下面是代码：

 1 #include<iostream>

 2 #include<cstdio>

 3 using namespace std;

 4 int main()

 5 {

 6     int n ;

 7     while(~scanf("%d",&n))

 8     {

 9         int g =(n*n*n+5*n+6)/6;

10         printf("%d\n",g);

11     }

12     return 0;

13 }