康托展开(Cantor expansion)及逆康托展开

康托展开(Cantor expansion)及逆康托展开

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康托展开

康托展开的定义

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

应用方面： 求集合全排列中某一状态的字典序

例如，给定集合 $Set=\{1,2,3\}$ ，需要求排列 $213$ 的字典序大小。易得，在 $Set$ 的全排列中， 有 $123,132$ 两个排列小于 $213$ 的字典序，所以 $213$ 的康托展开值是 $2$，序号为3。

排列	序号	康托展开值
123	1	$0\times 2!+0\times 1!+0\times 0!$
132	2	$0\times 2!+1\times 1!+0\times 0!$
213	3	$1\times 2!+0\times 1!+0\times 0!$
231	4	$1\times 2!+1\times 1!+0\times 0!$
312	5	$2\times 2!+0\times 1!+0\times 0!$
321	6	$2\times 2!+1\times 1!+0\times 0!$

计算公式

$$X=a_n\times (n-1)!+a_{n-1}\times (n-2)!+\cdot \cdot \cdot +a_2\times 1!+a_1\times 0!$$
  其中， $a_i$ 为第 $i$ 位后的 $i-1$ 位中比第 $i$ 位小的个数（ $i$ 为从右往左）。

举例说明

  已知 $Set=\{1,2,3,4,5\}$ ，求 $n==34152$ 在 $Set$ 全排列从小到大排序后在第几位。

在 $35142$ 中，不论从左向右还是从右向左开始建立（不是 $i$ 的顺序， $i$ 都是从右向左），我们都可以得到以下这张表。

$n_i$	3	4	1	5	2
$i$	5	4	3	2	1
$a_i$	2	2	0	1	0

从左向右为例解释：

• $n_5=3$ ，在后面4位中，有 $1$ 和 $2$ 小于 $n_5$，于是$a_5=2$
• $n_4=4$ ，在后面3位中，有 $1$ 和 $2$ 小于 $n_4$，于是$a_4=2$
• $n_3=1$ ，在后面2位中，没有数小于 $n_3$，于是$a_3=0$
• $n_2=5$ ，在后面1位中，有 $2$ 小于 $n_2$，于是$a_2=1$
• $n_1=2$ ，在后面0位中，没有数小于 $n_1$，于是$a_1=0$

根据公式可得：

所以 $34152$ 前面的排列共有 $61$ 个，结果就是$61+1=62$。

• 要注意康托展开值是某一排列之前有多少排列。

C/C++语言实现代码

#include 
using namespace std;

int cantor(int n)
{
     
    const int factorial[] = {
     1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320}; //阶乘预处理
    stringstream ss;
    ss << n;
    string s = ss.str();
    int num = s.length(), x = 0, temp;
    for (int i = 0; i < num; i++)
    {
     
        temp = 0;
        for (int j = i + 1; j < num; j++)
            if (s[i] > s[j])
                temp++;
        x += temp * factorial[num - i - 1];
    }
    return x + 1;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
     
    int n;

    cin >> n;
    cout << cantor(n) << endl;

    return 0;
}

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逆康托展开

  逆康托展开只需要将康托展开的过程反过来即可，将序号减一后，依次对阶乘作商取余。代码如下：

#include 
using namespace std;

int decantor(int n, vector<int> v)
{
     
    const int factorial[] = {
     1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320}; //阶乘预处理
    int num = v.size();
    stringstream ss;
    n--;
    for (int i = 0; i < num; i++)
    {
     
        int temp = n / factorial[num - i - 1];
        n %= factorial[num - 1 - i];
        ss << v[temp];
        v.erase(v.begin() + temp);
    }
    return atoi(ss.str().c_str());
}

int main(int argc, char *argv[])
{
     
    int n, temp;
    vector<int> vec;
    vec.clear();

    cout << "input index: ";
    cin >> n;
    cout << "input set, end with -1:" << endl;
    while (cin >> temp, temp != -1)
        vec.push_back(temp);
    sort(vec.begin(), vec.end());

    cout << decantor(n, vec) << endl;
    return 0;
}

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如有错误还请指出。