欧拉函数

定义:

$1\sim N$ 中与 $N$ 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为$\phi (N)$
已知$$N=P_1^{a_1}{P}_2^{a_2}{P}_3^{a_3}...P_n^{a_n}$$
$$\phi (x)=x\prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{P_i})$$
定义$\phi (1)=1$

证明：

思路：容斥原理
首先考虑去掉$P_1,P_2...P_n$的所有倍数,即
$$N-\frac{N}{P_1}-\frac{N}{P_2}-...-\frac{N}{P_n}$$
但是这样可能会同时去掉$P_i$与$P_j$的倍数，这样就被去掉了两次，所以要加上所有$P_i\ast P_j$的倍数
但是会出现$P_i$,$P_j$,$P_k$的倍数，这样它会被$P_i$,$P_j$,$P_k$分别减去一次，被$P_i$,$P_j$加上一次，被$P_j$,$P_k$加上一次，被$P_i$,$P_k$加上一次，这样会抵消，但是必须减去它，故而要减去它一次。
以此类推，最后有：
$$N(1-\frac{1}{P_1}-\frac{1}{P_2}-...-\frac{1}{P_n}$$
$$+\frac{1}{P_1{P}_2}+\frac{1}{P_2{P}_3}+\frac{1}{P_1{P}_3}+...+\frac{1}{P_{n-1}{P}_n}$$
$$-\frac{1}{P_1{P}_2{P}_3}-\frac{1}{P_2{P}_3{P}_4}-...-\frac{1}{P_{n-2}{P}_{n-1}{P}_n}$$
$$...)$$
就等价于$$N\prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{P_i})$$

性质：

$1.$欧拉函数是积性函数,若$m,n$互质，则$\phi (mn)=\phi (n)\phi (m)$
$2.$当$n$为质数时，$\phi (n)=n-1$
$3.$当$n$为奇质数时，$\phi (2n)=\phi (n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n;
int main(){
     
    cin>>t;
    while(t--){
     
        cin>>n;
        int res=n;
        for(int i=2;i<=n/i;i++){
     
            if(n%i==0){
     
                while(n%i==0) n/=i;
                res=res/i*(i-1);
            }
        }
        if(n>1) res=res/n*(n-1);
        cout<<res<<endl;
    }
}

筛法求欧拉函数:

筛的时候如果筛到质数直接赋值，因为当$n$为质数时，$\phi (n)=n-1$，因为$1\sim n-1$中每一个数都与$n$互质。

另一种情况筛到的数$i$不为质数时

当$i\%primes[j]=0$时
$$\phi (i\ast primes[j])=\phi (i)\ast primes[j]$$
当$i\%primes[j]\ne 0$时
$$\phi (i\ast primes[j])=\phi (i)\ast \phi (primes[j])=\phi (i)\ast (primes[j]-1)$$

给定一个正整数$n$，求$1\sim n$中每个数的欧拉函数之和。

时间复杂度$O(n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,primes[N],euler[N],cnt;
bool st[N];
void get_eulers(int n){
     
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
     
        if(!st[i]){
     
            primes[cnt++]=i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
     
            int t=primes[j]*i;
            st[t]=1;
            if(i%primes[j]==0){
     
                euler[t]=primes[j]*euler[i];
                break;
            }
            euler[t]=(primes[j]-1)*euler[i];
        }
    }
}
int main(){
     
    cin>>n;
    get_eulers(n);
    long long int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res+=euler[i];
    cout<<res<<endl;
}