数论杂谈（欧拉定理与费马小定理结论与应用）

欧拉定理：

a^φ(n)≡1 (mod n) ，其中 gcd(a,n)=1
欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。
欧拉函数模板

// 直接求
long long Euler( long long n ){
     
  	 long long res = n;
	 for( long long i =2 ;i*i<=n;i++){
     
	 	if( n %i == 0 ){
     
			n/=i;
			res = res - res/i;
		}
 		while( n % i==0)
		 n/=i;
	 }
     if( n > 1 )
	     res = res - res/n;
     return res;
}

欧拉定理性质：

1. 假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为 φ(p * q) = φ§ * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

2. 任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积， 那么ϕ(n) = n( 1−1/p1 )( 1−1/p2 )…( 1−1/pk ) ，

3. 对于给定的一个素数 p ， φ( p ) = p -1。则对于正整数 n = p^k ，φ(n) = p^k - p^k-1

扩展欧拉定理：

当(a,m)=1时，a^c≡a^{c mod φ(m)} (mod m)
可以直接指数取模，防止指数爆炸
推广到一般情况：a^b≡a^{b mod φ(n)+φ(n)}(mod n)

费马小定理：

a^p−1≡1 (mod p) ，其中 gcd(a,p)=1 ，p为质数
费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况。
例题：
计算2^100除以13的余数

long long f(long a,long b,long n)  //定义函数，求a的b次方对n取模
{
     
    int t,y;
    t=1;
    y=a;
    while(b!=0)
    {
     
        if((b&1)==1)
        t=t*y%n;
        y=y*y%n;
        b=b>>1;
    }
    return t;
}

相关：

指数循环节

求证a^b (%m)≡a^{b%φ(m)+φ(m)}(%m),其中b≥φ(m)

费马大定理

xⁿ + yⁿ = zⁿ（n >2时，没有正整数解）

逆元：

对于a和p，若 a * inv(a) % p ≡ 1，则称inv(a)为a%p的逆元。p为质数

例题

逆元与费马小定理：hdu 1576

原根

定义：

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（φ(m)表示m的欧拉函数）
如果g是P的原根，那么gⁱ mod P的结果两两不同，有g^p-1 =1 (mod P) ,P是素数

原根存在条件

原根存在的条件有以下几个：
定理一：设p是奇素数，则模p的原根存在； [3]
定理二：设g是模p的原根，则g或者g+p是模p²的原根；
定理三：设p是奇素数，则对任意α，模p^α的原根存在；
定理四：设α>=1，若g是模p^α的一个原根，则g与g+p^α中的奇数是模2p^α的一个原根。

例题

Poj 1284 Primitive Roots

快速幂

这个就不介绍了。。。老熟人

代码

ll poww(ll a,ll b)
{
     
	int ans=1;
	int base=a;
	while(b){
     
		if(b&1)ans=ans*base%mod;
		base=base*base%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans%mod;
}

矩阵快速幂

由快速幂延伸而来，将数延伸为矩阵，原理类似

原理：

快速幂+矩阵
矩阵乘法：左矩阵的第一行乘以右矩阵的第一列（分别相乘），乘完后相加
单位矩阵： nn的矩阵 mat ( i , i )=1; 任何一个矩阵乘以单位矩阵就是它本身 n单位矩阵=n， 可以把单位矩阵等价为整数1。（单位矩阵用在矩阵快速幂中）

代码：

typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int MAXN = 10005;//矩阵的大小
struct Mat {
     
    ll m[MAXN][MAXN];
}ans, a;//ans为结果矩阵，a为输入矩阵
Mat Mul(Mat a, Mat b, int n) {
     //计算矩阵a乘矩阵b，n为矩阵的大小
    Mat c;//临时矩阵c
    memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            for (int k = 1; k <= n; k++)
                c.m[i][j] = (c.m[i][j] + (a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod) % mod;
    return c;
}
Mat _power(Mat a, int b, int n) {
     //计算a^b，n为矩阵的大小
    for (int i = 1; i <= n; i++)//构造单位矩阵
        ans[i][i] = 1;
    while (b) {
     
        if (b & 1)
            ans = Mul(ans, a, n);
        a = Mul(a, a, n);
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}