投入产出模型分析 分配平衡方程组和消耗平衡方程组

zeros 生成0矩阵 eig 特征值、特征向量 ones 生成1矩阵 diag 对角矩阵 eye 生成单位矩阵 trace 方阵的迹 linspace 生成等距行向量 rank 矩阵的秩 rand 生成随机矩阵 rref 行最简形 det 方阵的行列式 orth 正交规范 inv 方阵的逆 null 求基础解系 norm 范数 jordan Jordan 分解 cond 方阵的条件数

zeros(m,n) m行n列0矩阵； ones(m,n) m行n列1矩阵； rand(m,n) m行n列[0，1]上均匀分布随机矩阵； eye(n) n 阶单位矩阵； diag(A) A的对角线构成的向量（A为矩阵）； diag(X) X的元素构成的对角矩阵（X为向量）； linspace(x1,x2,n) x1与x2间的n维等距向量，即将[x1,x2]n-1等分。

Matlab操作：eye(n)生成n阶单位阵diag(A) diag(X) X的元素构成的对角矩阵（X为向量）；ones(m,n) m行n列1矩阵；

左除法A\B解矩阵方程AX=B

右除法B/A 解矩阵方程XA=B

det(A) 返回方阵A的行列式

inv(A) 返回A的逆矩阵 Y'=Y的转置

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美国哈佛大学教授W.Leontief于20世纪30年代建立的国民经济的投入产出的数学模型，并因此获1973诺贝尔经济学奖。

数学模型：假设有n个经济部门，xi为部门i的总产出；aij为部门j单位产品对部门i产品的消耗； yi为外部对部门i的需求；zj为部门j新创造的价值。则

上面公式1i的称为分配平衡方程组，每一个等式以价值形式说明了对每一部门：

中间产品（作为系统内个部门的消耗）+最终产品（外部需求）=总产品

下式2称为消耗平衡方程组，说明对每一部门：

对系统内各企业产品的消耗+新创价值=总价值

令

（1）化为

X=AX+Y (3)

令C=E-A, E—单位矩阵，(3)化为

CX=Z (4)

经济学上称：A—直接消耗矩阵，C—Leontief矩阵，令

B为投入产出矩阵，表示了各部门的投入产出关系；D为各部门总投入向量，F为新创价值向量。

示例：

某城镇有三个重要产业，一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费和0.35元的运输费；生产一元钱的电，发电厂要支付0.40元的煤费，0.05元的电费及0.10元的运输费；提供一元钱的运输服务，铁路要支付0.45元的煤费的0.10元的电费和0.10元的运输费，在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额25000元定货，外界对地方铁路需求为30000元。问：

（1）三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？

（2）三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值？

（3）如果煤矿需要增加总产值10000元，它对各个企业的产品或服务的完全需求分别将是多少？

（4）假定三企业的外部需求仍是用于城镇的各种消费和积累，其中用于消费的产品价值分别为35000元、18000元和20000元，而假定三个企业的新创造价值又包括支付劳动报酬（工资等）和纯收入，其中支付劳动报酬分别为25488元、10146元和14258元，试分析各企业产品使用情况的比例关系；以及该星期系统的经济效益；

（5）若在以后的三周内，企业外部需求的增长速度分别是15%、3%和12%；那么各企业的总产值将增长多少？

记：x₁－本周内煤矿总产值；x₂－电厂总产值；x₃－铁路总产值，则

若记

则 AX+Y=X

此既说明了对每一企业：

中间产品（作为系统内各企业的消耗）+最终产品（外部需求）=总产品

称为分配平衡方程组。

另一方面，若设z₁，z₂和z₃（元）分别为煤矿、电厂和铁路在这个星期的创新价值，那么应有

此说明对每一企业：

对系统内各企业产品的消耗+创新价值=总产值

称为消耗平衡方程组。

表 投入产出分析表(单位：元）

产出 投入		中间产品				最终产品	总产值
		煤矿	电厂	铁路	小计
中间投入	煤矿	0	26158	38300	64458	50000	11458
	电厂	28614	3270	8511	40395	25000	65395
	铁路	40060	6450	8511	55111	30000	85111
	小计	68674	35968	55322	159964	105000	264964
新创价值		45784	29427	29789	105000
总产值		114458	65395	85111	264964

>> C=[0 0.65 0.55;
0.25 0.05 0.10;
0.25 0.05 0]

C =

         0    0.6500    0.5500
    0.2500    0.0500    0.1000
    0.2500    0.0500         0

>> D=[50000;25000;0]

D =

       50000
       25000
           0

>> A=(eye(3)-C)

A =

    1.0000   -0.6500   -0.5500
   -0.2500    0.9500   -0.1000
   -0.2500   -0.0500    1.0000

>> eye(3)

ans =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

>> X=A\D

X =

  1.0e+005 *

    1.0209
    0.5616
    0.2833

>> 

>> B=C*diag(X)

B =

  1.0e+004 *

         0    3.6506    1.5582
    2.5522    0.2808    0.2833
    2.5522    0.2808         0

>> Y=ones(1,3)*B

Y =

  1.0e+004 *

    5.1044    4.2122    1.8415

>> F=X-Y'

F =

  1.0e+004 *

    5.1044
    1.4041
    0.9916