95%置信区间

95％置信区间

科技论文里经常会出现【95%CI】的评价，这个评价到底有什么意义，他和68-95-99.7法则的关系是什么，可能很多人没有清楚的理解，包括之前写论文评价95%CI的自己。

目的

理解【95%CI置信区间】的含义，以及他和 【68-95-99.7%法则 】的关系。

什么是置信区间

首先明白置信区间的定义是什么：

在统计学中，一个概率样本的置信区间（英语：Confidence interval，CI），是对产生这个样本的总体的参数分布（Parametric Distribution）中的某一个未知参数值，以区间形式给出的估计。相对于点估计（Point Estimation）用一个样本统计量来估计参数值，置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。 ¹

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Keyword

• 置信区间并非评价该组样本的发生概率
• 置信区间是通过概率样本来推测 未知的总体参数
• 置信区间给出的是对于总体参数的 区间 估计，而非 点 估计

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置信区间计算例

这里假设有10个人的体重作为总体参数，选5个人作为一组抽样标本，来评价他们的平均值。10个人的体重分别如下表

路人1	路人2	路人3	路人4	路人5	路人6	路人7	路人8	路人9	路人10
50.4	54.6	55.2	58.4	64.3	65.5	69.1	71.4	74.5	88.3

我们可以知道总体参数的平均值为65.17
从这10个人的总体参数里，取出5个人作为抽样标本并计算其平均值。

• 路人1~5作为标本1，其平均值为56.58.
• 路人3~7作为标本2，其平均值为62.5.
• 路人3,4,7,8,10作为标本3，其平均值为68.48.

总平均	标本1平均	标本2平均	标本3平均
65.17	56.58	62.5	68.48

结果可以知道，任意一组标本跟总体平均都不一致。
我们不能用标本的 点推测 来推测总体数据的平均值。
当然，很多人会说这理所应当的，这也是总所周知的事实。

一组抽样标本，他的平均值并不能代表总体数据的平均值

换个思想，更简单的话就是：
当我们在实验室对10台复合钢做材料实验，能获得这一组强度数据，并进行数据整理的时候，得到的是这一组标本的数据。不能代表这个复合钢全体的数据，如何通过这组标本获得的数据，来推测复合钢的性质，这时我们可能就需要用 区间推测 来评价复合钢的强度。

这个时候我们就可以说，复合钢强度平均值是在这个 区间范围 以内，这个平均值不用点表示，而用 区间 来表示。

95%置信区间表示了什么

进入正题，论文里经常能看到的95%置信区间（95% Confidence Interval; 95%CI）到底代表了什么意思。

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95%置信区间是通过标本数据平均值对总体平均值的区间推测指标

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• 换句话说，95%置信区间是评价总体平均值的一个范围。我们进行100组实验，只有5组实验数据的平均值是落在这个范围之外的。

置信区间怎么求得的

知道了95%置信区间表示了什么意思之后，来看看置信区间是怎么通过计算获得的。要理解95%CI，首先我们得先理解标准误差（Standard Error; SE）。

标准误差SE和标准偏差SD很相似。
注意不要搞混淆，这里有说明他们的区别。

简单的说

$标准误差SE=标准偏差SD/\sqrt{(}n)$

这里的n代表实验体个数。

这里可以看出，实验体个数越多，SE就越小

举个简单的例子
假如想知道20岁的平均身高。
这个时候研究组A随机抽取了50个人获得了数据，研究组B随机抽取了1000个人获得了数据。
但是这两组数据测得了完全一样的数据：平均值为165cm，标准偏差为20。
我们如何评价研究组A和B的数据，能认为他们两组数据一模一样吗。

这个时候大家凭感觉也知道抽取1000个人的研究组B的可靠性比较高。

研究组名	样本数	平均值	标准偏差SD	标准误差SE
研究组A	50	165	20	$20/\sqrt{(}50)$=2.83
研究组B	1000	165	20	$20/\sqrt{(}1000)$=0.63

从上面的数据我们可以看出 离散程度完全一样的两组数据中，样本数的多少所表达出的对数据的可靠程度也不一样。
这里我们可以得出重要的结论：

标准偏差代表了一组数据的离散程度，而标准误差代表了这个平均值的可靠程度。

通过标准误差来求得置信区间

通过上面的结论，我们知道了标准误差SE可以代表了平均值的可靠程度，意味着我们可以通过标准误差来推测总体数据的平均值。
理解了标准误差SE，95%CI也能很好的理解。
数据服从正太分布的时候，95%CI可以通过如下式子计算获得：

95%CI=1.96*SE

所以95%置信区间为：平均值±1.96SE

为什么是1.96的系数怎么计算，核心思想是跟【68-95-99.7法则】是一样的， 是通过对概率密度函数积分所获得。

首先，我们获得了总体数据里的一组样本，我们可以从中计算出其平均值。
假定有多个样本有分别不同的平均值，此时我们就可以得到总体数据对于平均值的分布。
当我们把样本的平均值，当作一组样本里的一个数据时。我们就可以用正太分布的性质来评价样本的平均值。也就是n组样本里大约有68%的平均值落在总体样本里的 平均值±SE 的范围里。95.5%的平均值落在 平均值±2SE 的范围里。

所以95%的置信区间为 平均值 $\mu$ ± 1.96SE

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总结

• 标准偏差用来评价一组数据内的离散程度，可以通过【68-95-99.7法则】推测数据的分布范围
• 标准误差是评价一组样本平均值的可靠性，并通过它可以推测总体数据的平均值的可靠范围。
• 95%的置信区间意思为，假设做了100次实验，100次实验中有5次实验的平均值是不在置信区间的范围内。
• 95%置信区间的计算式为: 95%CI=1.96*SE

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1. en.wikipedia.org/wiki/Confidence_interval ↩︎