数学最美公式--欧拉公式推导

    今天晚上和朋友兼同行吃饭，突然聊到了数学上最美公式–欧拉公式，我突然发现，我只是知道这个公式，不知道公式从何而来，他说可以推导出来的，所以吃饭饭我就查了一些资料，顺便自己推导一次，感受一下数学之美。
    首先了解一下泰勒公式（也叫泰勒级数，Taylor series），如果函数$f(x)$在点$x=x_0$处具有$n$阶导数，则函数$f(x)$可以表示为：
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f^{{}^{\prime }}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+......+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n)\end{array}$$
    特别的，当$x_0=0$时，就变成了麦克劳林公式（也叫麦克劳林级数，Maclaurin’s series），可以表示为：
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{f(0)}{0!}+\frac{f^{{}^{\prime }}(0)}{1!}x+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(0)}{2!}{x}^2+......+\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n)\end{array}$$
    当$f(x)=e^x$时，带入麦克劳林公式可以得到：
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+......+\frac{x^n}{n!}$$
    当$f(x)=\sin x$时，带入麦克劳林公式可以得到：
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}......$$
    当$f(x)=\cos x$时，带入麦克劳林公式可以得到：
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}......$$
    当$f(x)=e^{ix}$时，带入麦克劳林公式可以得到：
$$\begin{array}{rl}{e}^{ix}& =1+(ix)+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+......+\frac{(ix{)}^n}{n!}\\ & =1+ix+(-\frac{x^2}{2!})+(-\frac{i{x}^3}{3!})+......+\frac{i^n{x}^n}{n!}\\ & =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+......)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}......)\\ & =\cos x+i\sin x\end{array}$$
    由此，推导出了数学上最美公式–欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$。