【寒假每日一题】棋盘挑战（个人练习）详细题解+推导证明（第十六天）

前言

今天是经典的深度优先搜索问题，即八皇后问题。

作为经典问题，我发现了一种新的写法，不需要开二维数组即可完成。

题目

给定一个 N×N 的棋盘，请你在上面放置 N 个棋子，要求满足：

每行每列都恰好有一个棋子
每条对角线上都最多只能有一个棋子

    1   2   3   4   5   6
  -------------------------
1 |   | O |   |   |   |   |
  -------------------------
2 |   |   |   | O |   |   |
  -------------------------
3 |   |   |   |   |   | O |
  -------------------------
4 | O |   |   |   |   |   |
  -------------------------
5 |   |   | O |   |   |   |
  -------------------------
6 |   |   |   |   | O |   |
  -------------------------

上图给出了当 N=6 时的一种解决方案，该方案可用序列 2 4 6 1 3 5 来描述，该序列按顺序给出了从第一行到第六行，每一行摆放的棋子所在的列的位置。

请你编写一个程序，给定一个 N×N 的棋盘以及 N 个棋子，请你找出所有满足上述条件的棋子放置方案。

输入格式

• 共一行，一个整数 N。

输出格式

• 共四行，前三行每行输出一个整数序列，用来描述一种可行放置方案，序列中的第 i 个数表示第 i 行的棋子应该摆放的列的位置。
• 这三行描述的方案应该是整数序列字典序排在第一、第二、第三的方案。
• 第四行输出一个整数，表示可行放置方案的总数。

数据范围

• $6\le N\le 13$

输入样例：
6
输出样例：
2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

详细题解

写法1

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 15;

int n;
bool col[N], dg[N*2], udg[N*2];
int path[N], ans;

void dfs(int x)
{
     
    if(x > n)
    {
     
        ++ ans;
        if (ans <= 3)
        {
     
            for (int i = 1; i <= n; ++ i )
                cout << path[i] << " ";
            cout << endl;
        }
        return ;
    }
    
    for (int y = 1; y <= n; ++ y )
        if (!col[y] && !dg[x - y + n] && !udg[x + y])
        {
     
            path[x] = y;
            col[y] = dg[x - y + n] = udg[x + y] = true;
            dfs(x + 1);
            
            path[x] = 0;
            col[y] = dg[x - y + n] = udg[x + y] = false;
        }
}

int main()
{
     
    cin >> n;
    dfs(1);
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}

毫无疑问，这是我个人觉得很有想象力的一种写法，使用新的表示方法来表示对角线，真的是天马行空。

最后提交，AC

推导证明

首先是上下左右对角线都有特殊要求，比如该行和该列只能有自己。

其次是对角线不能有棋子，所以该方法使用两个数组和额外的表达式来表示。

最后是回溯问题，由于深度搜索的可能性较多，所以需要回溯到上一步，即没有任何干扰，俗称恢复现场。

举一反三

类似的回溯问题。

总结

继续努力，坚持更新，16th打卡。