【ACWing】874. 筛法求欧拉函数

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/876/

给定一个正整数$n$，求$1\sim n$的每个数的欧拉函数之和，也就是求${\sum }_{i=1}^n\varphi (i)$。

数据范围：
$1\le n\le 10^6$

可以用欧拉筛来做。根据定义$\varphi (1)=1$。而对于素数$p$来说，易知$\varphi (p)=p-1$。对于一个正整数$i$，如果$p|i$，对于$\varphi (ip)$来说，由于$\varphi (i)=i(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$已经包含了所有的$ip$的素因子，所以$\varphi (ip)=p\varphi (i)$；而如果$p\nmid i$，那么$ip$的素因子比$i$的素因子多了一个$p$，所以次数$\varphi (ip)=p\varphi (i)(1-\frac{1}{p})=(p-1)\varphi (i)$。所以有：$$\varphi (ip)=\{\begin{array}{l}p\varphi (i),p|i\\ (p-1)\varphi (i),p\nmid i\end{array}$$事实上也可以类似推出结论，如果$(x,y)=1$，那么$\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)$。有了上面的公式之后，就能在做欧拉筛的时候顺便求出每个正整数的欧拉函数。代码如下：

#include 
using namespace std;

const int N = 1000010;

int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];

long get_eulers(int n) {
     
	// phi[1]要特殊处理
    phi[1] = 1;
    
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
     
        if (!st[i]) {
     
            primes[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
     
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
     
                phi[i * primes[j]] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            
            phi[i * primes[j]] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }

    long res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];
    
    return res;
}

int main() {
     
    int n;
    cin >> n;

    cout << get_eulers(n) << endl;
    
    return 0;
}

时空复杂度$O(n)$。