c莫比乌斯函数_数论小白入门-- 莫比乌斯反演

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生活所迫。数论小白开始入门数论了。

会陆陆续续发一些自己的笔记和总结。

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莫比乌斯反演学习笔记​xiejiadong.com

数论函数

定义域为正整数的函数称为数论函数。

积性函数

如果

，这样的数论函数称为积性函数。

常见的数论函数：

• 欧拉函数（如果
  ，则有
  ）
• 莫比乌斯函数
• 除数函数 ，用
  表示。其值等于所有
  的因子的
  次方之和。

完全积性函数

如果

，这样的数论函数称为完全积性函数。

常见的完全积性函数有：

Dirichlet 卷积

两个数论函数

的 Dirichlet 卷积为：

。

其中 Dirichlet 卷积的单位元定义为

，且

【结论】如果

均为积性函数，则

也为积性函数。

莫比乌斯函数

如果

含有平方因子，那么

；否则

，其中

为

的本质不同的质因子个数。

【性质】

.

【证明】我们令

。

显然，枚举

的因子和枚举

因子的差异就在于少枚举了含有平方因子的因子。

则有

。

此时的

，我们就可以考虑在

中任意选取组成一个因子了，于是就有

。

也就是只有当

的时候

，其他时候

。

而显然当

的时候，

，于是就证明了。

莫比乌斯反演

设

是两个数论函数，如果有

，那么有

。

【证明】因为我们有

，而

其实就是

。

于是

即

也就是

。

不过一般情况下构造一个

形式的式子是比较难的，一般情况下我们会直接化成

的形式，然后通过

来计算。

一种比较常见的问题是这样的：求

.

我们考虑枚举

的结果，假设

，于是就有

考虑将

部分反演，则有

我们令

则有

【例1】HAOI2011 Problemb

题意

求

。

分析

因为

，其中

。

我们令

并且假设

。

于是就有

。

因为有多组询问，这样的时间复杂度仍然是不允许的。

我们可以考虑数论分块，所谓数论分块，无非是

这部分的取值是

级别的，所以我们可以考虑把相同的一起算。

#include
#define LL long long
using namespace std;

const LL p_max = 100010;
LL mu[p_max];
void get_mu() {
      
    mu[1] = 1;
    static bool vis[p_max];
    static LL prime[p_max], p_sz, d;
    for (int i=2;im) swap(n,m);
    LL ans=0;
    for (LL i=1;i<=n/k;)
    {
      
        LL p=n/i/k,q=m/i/k;
        p=min(n/k,n/p/k),q=min(n/k,m/q/k);
        p=min(p,q);
        ans+=(f[p]-f[i-1])*(n/i/k)*(m/i/k);
        //cout<<"p,q="<

【例2】SPOJ5971 LCMSUM

题意

求

。

分析

我们并不太会直接求 lcm ，于是考虑转换成 gcd 来做。

对于 gcd 而言，显然有

，于是：

.

考虑枚举

的值，如果

，显然有

，那么显然这样的

有

个。

于是有

.

令

，这部分显然可以通过线性筛预处理出来，于是每次询问就

了。

#include
#define LL long long
using namespace std;

const LL p_max = 1000100;
LL phi[p_max];
void get_phi() {
      
    phi[1] = 1;
    static bool vis[p_max];
    static LL prime[p_max], p_sz, d;
    for (int i=2;i

【例3】hdu4944 FSF’s game

题意

求

。

分析

因为

所以有

显然

，于是

。

上一个例题解决了

这个问题，我们不妨设式子的后半部分为

。这部分其实就是在此基础上再前缀和，有了上一题，可以很容易解决。

于是现在就是求

，显然

取值是

级别的，可以数论分块，于是我们可以有

的做法。

Tle 了两发。过不去。只能考虑优化。

我们考虑枚举

，然后计算

的贡献。

假设当前

，那么当前的

的贡献区间是

，且贡献为

。

可以考虑在前后打上标记，然后前缀和预处理计算。

此时复杂度变成了

大概近似于

就可以过了。

#include
#define LL long long
using namespace std;

const LL p_max = 500100;
LL phi[p_max];
void get_phi() {
      
    phi[1] = 1;
    static bool vis[p_max];
    static LL prime[p_max], p_sz, d;
    for (int i=2;i

【例4】湖北省队互测 一个人的数论

题意

求所有

且与

互质的数的

次幂的和。

分析

题目要求的就是

。

用莫比乌斯反演

。

变换求和的顺序

。

显然

这部分是积性函数。于是考虑变换后一部分。

我们令

，显然这是一个关于

的

次多项式，于是可以用拉格朗日插值把系数都求出来，变成

。

于是原式就变成了

。

变换求和顺序变成

。

显然

是一个卷积的形式。

因为

和

都是积性函数，那么

也是一个积性函数。

我们令

，且有

。那么有

考虑对于任意的

，只有当

或者

的时候

于是只需要求这两项，即

。

#include
#define LL long long
using namespace std;


LL bin(LL x,LL n,LL MOD)
{
      
    LL ret=MOD!=1;
    for (x%=MOD;n;n>>=1,x=x*x%MOD)
        if (n&1) ret=ret*x%MOD;
    return ret;
}

const LL MOD=1000000007;
const int MAXN = 1005;
typedef vector Poly;
Poly operator * (const Poly &a, const Poly &b) {
      
    Poly c(a.size() + b.size() - 1, 0);
    int an = a.size(), bn = b.size();
    for (int i=0; i= MOD) c[i] -= MOD;
    }
    while (!c.empty() && c.back() == 0) c.pop_back();
    return c;
}
void operator *= (Poly &a, LL b){
      
    int n = a.size();
    for (int i=0; i